1. **Problemstellung:** Warum wählt man in der Lösung für den Vektor $ \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} $ den Wert $ c_1 = 3 $ aus? 2. **Erklärung des Problems:** Wir suchen einen Vektor $ \vec{c} $, der orthogonal zu zwei gegebenen Vektoren $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ ist. Das bedeutet: $$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \quad \text{und} \quad \vec{b} \cdot \vec{c} = 0 $$ Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit drei Unbekannten $ c_1, c_2, c_3 $ und zwei Gleichungen. 3. **Formel und wichtige Regel:** Ein lineares Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannten hat unendlich viele Lösungen. Um eine konkrete Lösung zu finden, wählt man einen Wert für eine Variable frei aus (hier $ c_1 = 3 $), um das System eindeutig zu lösen. 4. **Warum $ c_1 = 3 $?:** - Die Wahl von $ c_1 = 3 $ ist willkürlich, aber praktisch, um die Rechnung zu vereinfachen. - Man kann jeden beliebigen Wert für $ c_1 $ wählen, außer 0, um eine nicht-triviale Lösung zu erhalten. - Die Wahl beeinflusst nur die Länge des Vektors $ \vec{c} $, nicht seine Richtung. 5. **Zwischenschritte:** Aus der zweiten Gleichung: $$ 2c_1 + 3c_3 = 0 \implies 3c_3 = -2c_1 \implies c_3 = -\frac{2}{3} c_1 $$ Setzt man $ c_1 = 3 $ ein: $$ c_3 = -\frac{2}{3} \times 3 = -2 $$ In die erste Gleichung eingesetzt: $$ c_1 + 2c_2 + 3c_3 = 0 \implies 3 + 2c_2 + 3(-2) = 0 \implies 3 + 2c_2 - 6 = 0 \implies 2c_2 - 3 = 0 \implies c_2 = \frac{3}{2} = 1.5 $$ 6. **Endergebnis:** $$ \vec{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1.5 \\ -2 \end{pmatrix} $$ **Zusammenfassung:** Die Wahl von $ c_1 = 3 $ ist eine willkürliche, aber sinnvolle Entscheidung, um das Gleichungssystem eindeutig zu lösen und eine konkrete Lösung für $ \vec{c} $ zu erhalten. Jede andere Wahl von $ c_1 \neq 0 $ würde ebenfalls eine gültige Lösung liefern, nur mit unterschiedlicher Länge des Vektors.