1. Problemi: Jepet sistemi i ekuacioneve lineare: $$\begin{cases} 10x_1 - x_2 + 2x_3 = 6 \\ -x_1 + 11x_2 - x_3 + 3x_4 = 25 \\ 2x_1 - x_2 + 10x_3 - x_4 = -11 \\ 3x_2 - x_3 + 8x_4 = 15 \end{cases}$$ 2. Matrica $A$ dhe vektori $b$ janë: $$A = \begin{bmatrix} 10 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 11 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & 10 & -1 \\ 0 & 3 & -1 & 8 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 6 \\ 25 \\ -11 \\ 15 \end{bmatrix}$$ 3. Metoda e Gausit (eliminimi Gausian) përdor transformime elementare për të kthyer matricën $A$ në një matricë trekëndore të sipërme dhe pastaj zgjidhet sistemi me zbritje prapa. 4. Duke aplikuar eliminimin Gausian në $[A|b]$: - Eliminojmë elementët poshtë diagonales në kolonën 1. - Pastaj kolonën 2, 3, deri në matricën trekëndore të sipërme. - Zgjidhim për $x_4, x_3, x_2, x_1$ me zbritje prapa. 5. Zgjidhja e sistemit me metodën e Gausit jep: $$x_1 = 1, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = -1, \quad x_4 = 1$$ 6. Verifikimi: Zëvendësojmë në ekuacionet origjinale dhe kontrollojmë nëse janë të vërteta. 7. Faktorizimi LU: Matrica $A$ shkruhet si produkt i matricës së poshtme $L$ dhe matricës së sipërme $U$: $$A = LU$$ Ku $L$ ka 1 në diagonale dhe $U$ është trekëndore e sipërme. 8. Duke përdorur faktorizimin LU, zgjidhet sistemi në dy hapa: - Zgjidh $Ly = b$ për $y$ (me zbritje përpara). - Zgjidh $Ux = y$ për $x$ (me zbritje prapa). 9. Metoda e Gaus-Zhordanit: Zgjidhja bëhet duke kthyer matricën $A$ në matricën identitet duke përdorur transformime elementare në të gjithë matricën e zgjeruar $[A|b]$. 10. Matrica inverse $A^{-1}$ gjendet duke zgjidhur $AX = I$ ku $I$ është matrica identitet. Kjo mund të bëhet duke përdorur faktorizimin LU ose metodën e Gaus-Zhordanit. 11. Pasi gjendet $A^{-1}$, zgjidhja e sistemit është: $$x = A^{-1}b$$ 12. Komentet për metodat: - Metoda e Gausit është efikase për zgjidhje të drejtpërdrejta. - Faktorizimi LU është i dobishëm kur zgjidhen shumë sisteme me të njëjtën $A$ por vektore $b$ të ndryshme. - Metoda e Gaus-Zhordanit është më e thjeshtë konceptualisht por më pak efikase për matricat e mëdha. Përmbledhje: Zgjidhja e sistemit është $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-1$, $x_4=1$.