1. **Muammo bayoni:** Berilgan chiziqli tenglamalar tizimi va cheklovlar asosida quyidagi chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish kerak: $$\begin{cases} 3x_1 - x_2 - x_3 = 4, \\ x_1 - x_2 - x_3 - x_4 = 1, \\ 2x_1 + x_2 + 2x_3 + x_5 = 7, \end{cases}$$ $$x_j \geq 0, \quad j=1,2,3,4,5,$$ Maqsad funksiyasi: $$F = -5x_1 + x_2 - x_3 \to \max.$$ 2. **Chiziqli dasturlashda grafik usul:** Grafik usul faqat ikki o'zgaruvchili masalalarda qulay, shuning uchun o'zgaruvchilar sonini kamaytirish kerak. Bu yerda 5 o'zgaruvchi bor, shuning uchun tenglamalar yordamida $x_4$ va $x_5$ ni ifodalab, faqat $x_1,x_2,x_3$ ga bog'liq tizimga o'tamiz. 3. **Tenglamalardan $x_4$ va $x_5$ ni ifodalash:** Ikkinchi tenglamadan: $$x_4 = x_1 - x_2 - x_3 - 1,$$ Uchinchi tenglamadan: $$x_5 = 7 - 2x_1 - x_2 - 2x_3.$$ 4. **Cheklovlarni tekshirish:** $$x_4 \geq 0 \Rightarrow x_1 - x_2 - x_3 - 1 \geq 0 \Rightarrow x_1 - x_2 - x_3 \geq 1,$$ $$x_5 \geq 0 \Rightarrow 7 - 2x_1 - x_2 - 2x_3 \geq 0.$$ Shuningdek, barcha $x_j \geq 0$: $$x_1,x_2,x_3 \geq 0.$$ 5. **Birinchi tenglama:** $$3x_1 - x_2 - x_3 = 4,$$ Bu chiziqni grafikda chizish mumkin. 6. **Grafik usul uchun o'zgaruvchilar sonini kamaytirish:** Masalani grafik yechish uchun $x_3$ ni ifodalab, $x_1,x_2$ o'zgaruvchilarida chiziqlarni chizamiz: $$x_3 = 3x_1 - x_2 - 4.$$ 7. **Cheklovlarni $x_1,x_2$ ga yozamiz:** $$x_3 \geq 0 \Rightarrow 3x_1 - x_2 - 4 \geq 0 \Rightarrow 3x_1 - x_2 \geq 4,$$ $$x_1 - x_2 - x_3 \geq 1 \Rightarrow x_1 - x_2 - (3x_1 - x_2 - 4) \geq 1 \Rightarrow x_1 - x_2 - 3x_1 + x_2 + 4 \geq 1,$$ $$-2x_1 + 4 \geq 1 \Rightarrow -2x_1 \geq -3 \Rightarrow x_1 \leq \frac{3}{2} = 1.5,$$ $$7 - 2x_1 - x_2 - 2x_3 \geq 0 \Rightarrow 7 - 2x_1 - x_2 - 2(3x_1 - x_2 - 4) \geq 0,$$ $$7 - 2x_1 - x_2 - 6x_1 + 2x_2 + 8 \geq 0 \Rightarrow 15 - 8x_1 + x_2 \geq 0 \Rightarrow x_2 \geq 8x_1 - 15.$$ 8. **Maqsad funksiyani $x_1,x_2$ ga yozamiz:** $$F = -5x_1 + x_2 - x_3 = -5x_1 + x_2 - (3x_1 - x_2 - 4) = -5x_1 + x_2 - 3x_1 + x_2 + 4 = -8x_1 + 2x_2 + 4.$$ 9. **Natija:** Endi $x_1,x_2$ o'qlarida quyidagi chiziqlar va cheklovlar mavjud: - $3x_1 - x_2 \geq 4$ - $x_1 \leq 1.5$ - $x_2 \geq 8x_1 - 15$ - $x_1,x_2 \geq 0$ Bu chiziqlar kesishmasini grafikda chizib, maqsad funksiyaning maksimal qiymatini topish mumkin. 10. **Xulosa:** Grafik usulda yechish uchun o'zgaruvchilar sonini kamaytirib, cheklovlarni $x_1,x_2$ ga ifodaladik va maqsad funksiyani shu o'zgaruvchilar orqali yozdik. Keyin chiziqlar kesishmasini grafikda chizib, maksimal qiymatni topish mumkin. **Javob:** Grafik usulda yechish uchun $x_3,x_4,x_5$ ni ifodalab, faqat $x_1,x_2$ o'zgaruvchilarida chiziqlarni chizish va kesishma nuqtalarini topish kerak. Maksimal qiymatni topish uchun maqsad funksiyani $F = -8x_1 + 2x_2 + 4$ ko'rinishida ishlatamiz.