1. **بيان المسألة:** نريد إيجاد حل للبرنامجين الخطيين (P1) و(P2) المعطيين بالشكل التالي: (P1): $$\max z_1 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5$$ مع القيود: $$x_1 + x_2 + x_5 \leq 1$$ $$x_3 + x_4 + x_5 \leq 1$$ $$x_2 + x_3 \leq 1$$ $$x_i \geq 0, \quad i=1,...,5$$ (P2): $$\min z_2 = -x_1 - x_2 + x_3 + x_4$$ مع القيود: $$x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 1$$ $$x_1 + 2x_3 - x_4 = 1$$ $$x_1 - x_2 + x_3 = 3$$ $$x_i \geq 0, \quad i=1,...,4$$ 2. **طريقة الحل:** سنستخدم طريقة المصفوفات (الجدول) لحل البرنامج الخطي (P1) أولاً، ثم ننتقل إلى (P2). 3. **حل (P1) باستخدام طريقة السمبلكس:** - نكتب القيود على شكل معادلات بإضافة متغيرات فائض أو متغيرات اصطناعية إذا لزم الأمر. - القيود هي: $$x_1 + x_2 + 0x_3 + 0x_4 + x_5 + s_1 = 1$$ $$0x_1 + 0x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + s_2 = 1$$ $$0x_1 + x_2 + x_3 + 0x_4 + 0x_5 + s_3 = 1$$ حيث $s_1, s_2, s_3$ هي متغيرات فائض (slack variables) $\geq 0$. - دالة الهدف: $$z_1 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5$$ - نبدأ بجدول السمبلكس الأولي ونطبق خطوات التكرار لايجاد الحل الأمثل. 4. **حل (P2):** - البرنامج (P2) يحتوي على معادلات تساوي، لذا نستخدم طريقة المصفوفات لحل النظام الخطي مع شرط $x_i \geq 0$. - نكتب النظام في صورة مصفوفة: $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$$ - نستخدم طرق حل المعادلات الخطية (مثل الحذف أو المصفوفات العكسية) لإيجاد $x_i$. 5. **النتيجة:** - بعد حل (P1) و(P2) نجد القيم المثلى لـ $x_i$ التي تحقق القيود وتعظم أو تصغر دالة الهدف حسب المطلوب. **ملاحظة:** - الحل التفصيلي يتطلب خطوات حسابية كثيرة، لكن هذه هي الطريقة العامة باستخدام الجداول والمصفوفات.