1. **Énoncé du problème :** Maximiser la fonction objectif $$Z = 390x + 420y + 440z$$ sous les contraintes : $$x + e_1 = 100$$ $$y + e_2 = 150$$ $$x + y + 2z + e_3 = 200$$ $$2x + y + z + e_4 = 300$$ avec $$x,y,z,e_1,e_2,e_3,e_4 \geq 0$$. 2. **Formulation initiale :** Les variables d'écart $$e_1,e_2,e_3,e_4$$ sont introduites pour transformer les inégalités en égalités. 3. **Tableau initial du simplex :** Variables de base initiales : $$e_1, e_2, e_3, e_4$$ | B | x | y | z | e_1 | e_2 | e_3 | e_4 | Q | |----|---|---|---|-----|-----|-----|-----|-----| | e_1| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 100 | | e_2| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 150 | | e_3| 1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 200 | | e_4| 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 300 | 4. **Fonction objectif dans le tableau :** $$Z - 390x - 420y - 440z = 0$$ 5. **Étape 1 : Choix de la variable entrante** On choisit la variable avec le coefficient le plus positif dans la ligne de $$Z$$, ici $$z$$ avec 440. 6. **Étape 2 : Choix de la variable sortante** Calcul du ratio $$\frac{Q}{coefficient\ de\ z}$$ pour chaque contrainte où le coefficient de $$z > 0$$ : - $$e_3: \frac{200}{2} = 100$$ - $$e_4: \frac{300}{1} = 300$$ Le plus petit ratio est 100, donc $$e_3$$ sort. 7. **Pivot sur la case (e_3, z) = 2** Diviser la ligne $$e_3$$ par 2 : $$e_3: \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y + z + 0e_1 + 0e_2 + \frac{1}{2}e_3 + 0e_4 = 100$$ 8. **Mise à jour des autres lignes pour annuler la colonne $$z$$ :** - Pour $$e_1$$ et $$e_2$$, coefficient de $$z=0$$, pas de changement. - Pour $$e_4$$, coefficient de $$z=1$$, soustraire la ligne $$e_3$$ multipliée par 1 : $$e_4 - e_3: (2 - \frac{1}{2})x + (1 - \frac{1}{2})y + (1 - 1)z + 0e_1 + 0e_2 + (0 - \frac{1}{2})e_3 + 1e_4 = 300 - 100$$ $$\Rightarrow \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}y + 0z + 0e_1 + 0e_2 - \frac{1}{2}e_3 + 1e_4 = 200$$ - Pour $$Z$$, coefficient de $$z= -440$$, ajouter 440 fois la ligne $$e_3$$ : $$Z + 440 \times e_3: ( -390 + 440 \times \frac{1}{2} )x + ( -420 + 440 \times \frac{1}{2} )y + 0z + 0e_1 + 0e_2 + 440 \times \frac{1}{2} e_3 + 0e_4 = 440 \times 100$$ $$\Rightarrow ( -390 + 220 )x + ( -420 + 220 )y + 0z + 0e_1 + 0e_2 + 220 e_3 + 0e_4 = 44000$$ $$\Rightarrow -170x - 200y + 220 e_3 = 44000$$ 9. **Nouveau tableau :** | B | x | y | z | e_1 | e_2 | e_3 | e_4 | Q | |----|---------|---------|---|-----|-----|-----------|-----|------| | e_1| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 100 | | e_2| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 150 | | z | \frac{1}{2} | \frac{1}{2} | 1 | 0 | 0 | \frac{1}{2} | 0 | 100 | | e_4| \frac{3}{2} | \frac{1}{2} | 0 | 0 | 0 | -\frac{1}{2} | 1 | 200 | | Z | -170 | -200 | 0 | 0 | 0 | 220 | 0 | 44000| 10. **Étape 3 : Choix de la variable entrante** Coefficients négatifs dans $$Z$$ sont $$x$$ et $$y$$, choisir la plus négative : $$y = -200$$. 11. **Étape 4 : Choix de la variable sortante** Calcul des ratios pour $$y$$ positif : - $$e_2: \frac{150}{1} = 150$$ - $$z: \frac{100}{\frac{1}{2}} = 200$$ - $$e_4: \frac{200}{\frac{1}{2}} = 400$$ Le plus petit ratio est 150, donc $$e_2$$ sort. 12. **Pivot sur (e_2, y) = 1** Diviser la ligne $$e_2$$ par 1 (inchangé). 13. **Mise à jour des autres lignes pour annuler la colonne $$y$$ :** - Pour $$e_1$$, coefficient de $$y=0$$, pas de changement. - Pour $$z$$, coefficient de $$y=\frac{1}{2}$$, soustraire $$\frac{1}{2}$$ fois la ligne $$e_2$$ : $$z - \frac{1}{2} e_2: \frac{1}{2}x + 0y + z + 0e_1 + 0e_2 + \frac{1}{2}e_3 + 0e_4 = 100 - \frac{1}{2} \times 150 = 25$$ - Pour $$e_4$$, coefficient de $$y=\frac{1}{2}$$, soustraire $$\frac{1}{2}$$ fois la ligne $$e_2$$ : $$e_4 - \frac{1}{2} e_2: \frac{3}{2}x + 0y + 0z + 0e_1 + 0e_2 - \frac{1}{2}e_3 + 1e_4 = 200 - \frac{1}{2} \times 150 = 125$$ - Pour $$Z$$, coefficient de $$y=-200$$, ajouter 200 fois la ligne $$e_2$$ : $$Z + 200 e_2: -170x + 0y + 0z + 0e_1 + 200e_2 + 220e_3 + 0e_4 = 44000 + 200 \times 150 = 74000$$ 14. **Nouveau tableau :** | B | x | y | z | e_1 | e_2 | e_3 | e_4 | Q | |----|---------|---|---|-----|-----|-----------|-----|------| | e_1| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 100 | | y | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 150 | | z | \frac{1}{2} | 0 | 1 | 0 | -\frac{1}{2} | \frac{1}{2} | 0 | 25 | | e_4| \frac{3}{2} | 0 | 0 | 0 | -\frac{1}{2} | -\frac{1}{2} | 1 | 125 | | Z | -170 | 0 | 0 | 0 | 200 | 220 | 0 | 74000| 15. **Étape 5 : Choix de la variable entrante** Coefficient négatif dans $$Z$$ est $$x = -170$$. 16. **Étape 6 : Choix de la variable sortante** Calcul des ratios pour $$x > 0$$ : - $$e_1: \frac{100}{1} = 100$$ - $$z: \frac{25}{\frac{1}{2}} = 50$$ - $$e_4: \frac{125}{\frac{3}{2}} = \frac{125}{1.5} \approx 83.33$$ Le plus petit ratio est 50, donc $$z$$ sort. 17. **Pivot sur (z, x) = \frac{1}{2}$$ Diviser la ligne $$z$$ par $$\frac{1}{2}$$ : $$z: x + 0y + 2z + 0e_1 - 1e_2 + 1e_3 + 0e_4 = 50$$ 18. **Mise à jour des autres lignes pour annuler la colonne $$x$$ :** - Pour $$e_1$$, coefficient de $$x=1$$, soustraire la ligne $$z$$ : $$e_1 - e_1: 0x + 0y + -2z + 1e_1 + 1e_2 - 1e_3 + 0e_4 = 100 - 50 = 50$$ - Pour $$y$$, coefficient de $$x=0$$, pas de changement. - Pour $$e_4$$, coefficient de $$x=\frac{3}{2}$$, soustraire $$\frac{3}{2}$$ fois la ligne $$z$$ : $$e_4 - \frac{3}{2} z: 0x + 0y + -3z + 0e_1 + \frac{3}{2} e_2 - \frac{3}{2} e_3 + 1e_4 = 125 - \frac{3}{2} \times 50 = 125 - 75 = 50$$ - Pour $$Z$$, coefficient de $$x=-170$$, ajouter 170 fois la ligne $$z$$ : $$Z + 170 z: 0x + 0y + 340z + 0e_1 + 30e_2 + 390e_3 + 0e_4 = 74000 + 170 \times 50 = 74000 + 8500 = 82500$$ 19. **Tableau final :** | B | x | y | z | e_1 | e_2 | e_3 | e_4 | Q | |----|---|---|----|-----|-----|-----|-----|------| | e_1| 0 | 0 | -2 | 1 | 1 | -1 | 0 | 50 | | y | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 150 | | x | 1 | 0 | 2 | 0 | -1 | 1 | 0 | 50 | | e_4| 0 | 0 | -3 | 0 | 1.5 | -1.5| 1 | 50 | | Z | 0 | 0 | 340| 0 | 30 | 390 | 0 | 82500| 20. **Conclusion :** Les variables de base sont $$x=50$$, $$y=150$$, $$z=0$$ (car $$z$$ est non basique), la valeur maximale de $$Z$$ est $$82500$$. **Réponse finale :** $$x=50, y=150, z=0, Z_{max} = 82500$$.