1. **Énoncé du problème** : Mettre les parenthèses dans les formules logiques données pour clarifier leur structure. 2. **Rappel des règles importantes** : - Le symbole \(\forall\) (pour tout) et \(\exists\) (il existe) sont des quantificateurs qui lient les variables. - Les parenthèses doivent montrer clairement la portée des quantificateurs et des connecteurs logiques (\(\to\), \(\wedge\), \(\vee\), \(\neg\)). 3. **Travail sur chaque formule** : **a)** \(\forall x \forall y \forall z (A(x) \to (B(y) \wedge A(x)))\) **b)** \(\exists x \forall y \exists z (A(x) \vee (\exists y (\neg (\forall z B(z,y)))))\) **c)** \(\forall x (A(x) \to A(y))\) **d)** \((\forall x \forall y A(x,y)) \wedge (\forall x A(x,x))\) --- 4. **Énoncé du problème** : Déterminer les occurrences libres et liées dans les formules suivantes. 5. **Rappel** : - Une variable est liée si elle est dans la portée d'un quantificateur qui la quantifie. - Une variable est libre si elle n'est pas liée par un quantificateur. 6. **Analyse des formules** : **a)** \(\forall z ((\forall x A(x,y)) \to A(z,a))\) - Variables liées : \(z, x\) - Variables libres : \(y, a\) **b)** \((\forall y A(z,y)) \to (\forall z A(z,y))\) - Variables liées : \(y\) dans \(\forall y A(z,y)\), \(z\) dans \(\forall z A(z,y)\) - Variables libres : \(z\) dans \(A(z,y)\) du premier terme, \(y\) dans \(A(z,y)\) du second terme **c)** \((\forall y \exists x \exists y B(x,y,f(x,y))) \vee (\neg \forall x A(y,g(x)))\) - Variables liées : \(y, x\) dans \(\forall y \exists x \exists y B(x,y,f(x,y))\), \(x\) dans \(\forall x A(y,g(x))\) - Variables libres : \(y\) dans \(A(y,g(x))\) (car pas quantifié dans cette partie) --- **Réponse finale** : **Exercice 2 parenthèses** : \(\forall x \forall y \forall z (A(x) \to (B(y) \wedge A(x)))\) \(\exists x \forall y \exists z (A(x) \vee (\exists y (\neg (\forall z B(z,y)))))\) \(\forall x (A(x) \to A(y))\) \((\forall x \forall y A(x,y)) \wedge (\forall x A(x,x))\) **Exercice 3 occurrences libres et liées** : - a) Liées : \(z, x\) ; Libres : \(y, a\) - b) Liées : \(y\) dans premier terme, \(z\) dans second terme ; Libres : \(z\) dans premier terme, \(y\) dans second terme - c) Liées : \(y, x\) dans premier terme, \(x\) dans second terme ; Libre : \(y\) dans second terme