1. **Probleemstelling:** (a) Schrijf de zin "er zijn mensen die een kind hebben" als een propositie met de predikaten M(x), V(x), en K(x,y). (b) Bepaal de waarheidswaarde van de propositie $$\forall x \in \mathbb{N} \exists y \in \mathbb{Q} \left(\frac{x}{y} = 2\right)$$. (c) Herschrijf de verzameling $$\{x \mid x < 0\} \setminus \{x \mid x^2 > 100\}$$ met een impliciete definitie, universum $$\mathbb{R}$$. --- 2. **Formules en regels:** (a) De zin "er zijn mensen die een kind hebben" betekent dat er een persoon is die een kind heeft. Dit kan worden uitgedrukt als: $$\exists x \,(M(x) \lor V(x)) \wedge \exists y \, K(y,x)$$ waarbij $$M(x)$$ betekent "x is een man", $$V(x)$$ betekent "x is een vrouw", en $$K(y,x)$$ betekent "y is een kind van x". (b) De propositie $$\forall x \in \mathbb{N} \exists y \in \mathbb{Q} \left(\frac{x}{y} = 2\right)$$ betekent dat voor elke natuurlijke getal $$x$$ er een rationaal getal $$y$$ bestaat zodat $$x/y=2$$. (c) De verzameling $$\{x \mid x < 0\} \setminus \{x \mid x^2 > 100\}$$ betekent alle reële getallen kleiner dan 0, behalve die waarvan het kwadraat groter is dan 100. --- 3. **Uitwerking:** (a) De zin "er zijn mensen die een kind hebben" betekent dat er een persoon is die man of vrouw is en die een kind heeft. Dit schrijven we als: $$\exists x \big((M(x) \lor V(x)) \wedge \exists y \, K(y,x)\big)$$ Dit zegt: er bestaat een $$x$$ die man of vrouw is en waarvoor er een $$y$$ bestaat die kind is van $$x$$. (b) We onderzoeken de waarheid van $$\forall x \in \mathbb{N} \exists y \in \mathbb{Q} \left(\frac{x}{y} = 2\right)$$. Voor een gegeven $$x \in \mathbb{N}$$ kunnen we kiezen: $$y = \frac{x}{2}$$ Omdat $$x$$ natuurlijk is en $$2$$ een rationaal getal is, is $$y = \frac{x}{2}$$ ook rationaal. Controle: $$\frac{x}{y} = \frac{x}{\frac{x}{2}} = 2$$ Dus voor elke $$x$$ bestaat zo'n $$y$$, de propositie is waar. (c) De verzameling is: $$\{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\} \setminus \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 > 100\}$$ Dit betekent alle negatieve getallen waarvan het kwadraat niet groter is dan 100: $$\{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \wedge x^2 \leq 100\}$$ Omdat $$x^2 \leq 100$$ betekent $$-10 \leq x \leq 10$$, en we beperken tot $$x < 0$$, krijgen we: $$\{x \in \mathbb{R} \mid -10 \leq x < 0\}$$ --- **Antwoorden:** (a) $$\exists x \big((M(x) \lor V(x)) \wedge \exists y \, K(y,x)\big)$$ (b) Waar (c) $$\{x \in \mathbb{R} \mid -10 \leq x < 0\}$$