1. **Nyatakan masalah:** Kita diminta menyederhanakan persamaan logika berikut secara bertahap menggunakan gerbang logika: $$F = \overline{AB} + AC \left( \overline{AB} \right)$$ $$F = A + B\overline{C} + \overline{AB}C$$ $$F = AB\overline{C} + \overline{AC} + \overline{ABC}$$ $$F = ABC\overline{D} + \overline{AB}CD + \overline{ABC}$$ 2. **Aturan dasar yang digunakan:** - Hukum Demorgan: $\overline{AB} = \overline{A} + \overline{B}$ - Hukum distribusi, asosiasi, dan komutasi - Identitas dasar: $A + \overline{A} = 1$, $A1 = A$, $A0 = 0$ 3. **Penyederhanaan persamaan pertama:** $$F = \overline{AB} + AC\overline{AB}$$ Gunakan hukum distribusi: $$F = \overline{AB}(1 + AC)$$ Karena $1 + AC = 1$, maka: $$F = \overline{AB}$$ 4. **Penyederhanaan persamaan kedua:** $$F = A + B\overline{C} + \overline{AB}C$$ Gunakan hukum Demorgan pada $\overline{AB} = \overline{A} + \overline{B}$: $$F = A + B\overline{C} + (\overline{A} + \overline{B})C$$ Distribusikan: $$F = A + B\overline{C} + \overline{A}C + \overline{B}C$$ Kelompokkan: $$F = A + \overline{A}C + B\overline{C} + \overline{B}C$$ Gunakan hukum absorpsi $A + \overline{A}C = A + C$: $$F = A + C + B\overline{C} + \overline{B}C$$ Perhatikan $B\overline{C} + \overline{B}C = B \oplus C$ (XOR), sehingga: $$F = A + C + (B \oplus C)$$ Karena $A + C$ sudah mencakup $C$, hasil akhir: $$F = A + C + B\overline{C} + \overline{B}C$$ 5. **Penyederhanaan persamaan ketiga:** $$F = AB\overline{C} + \overline{AC} + \overline{ABC}$$ Gunakan hukum Demorgan: $$\overline{AC} = \overline{A} + \overline{C}$$ $$\overline{ABC} = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C}$$ Substitusi: $$F = AB\overline{C} + (\overline{A} + \overline{C}) + (\overline{A} + \overline{B} + \overline{C})$$ Gabungkan: $$F = AB\overline{C} + \overline{A} + \overline{B} + \overline{C}$$ Karena $\overline{A} + \overline{B} + \overline{C}$ sudah mencakup semua kondisi, maka: $$F = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C} + AB\overline{C}$$ 6. **Penyederhanaan persamaan keempat:** $$F = ABC\overline{D} + \overline{AB}CD + \overline{ABC}$$ Gunakan hukum Demorgan: $$\overline{AB} = \overline{A} + \overline{B}$$ $$\overline{ABC} = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C}$$ Substitusi: $$F = ABC\overline{D} + (\overline{A} + \overline{B})CD + (\overline{A} + \overline{B} + \overline{C})$$ Distribusikan: $$F = ABC\overline{D} + \overline{A}CD + \overline{B}CD + \overline{A} + \overline{B} + \overline{C}$$ Gabungkan semua: $$F = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C} + ABC\overline{D} + \overline{A}CD + \overline{B}CD$$ Karena $\overline{A} + \overline{B} + \overline{C}$ sudah mencakup banyak kondisi, hasil akhir tetap: $$F = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C} + ABC\overline{D}$$ **Jawaban akhir:** - Persamaan 1 disederhanakan menjadi $F = \overline{AB}$ - Persamaan 2 disederhanakan menjadi $F = A + C + B\overline{C} + \overline{B}C$ - Persamaan 3 disederhanakan menjadi $F = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C} + AB\overline{C}$ - Persamaan 4 disederhanakan menjadi $F = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C} + ABC\overline{D}$ Penyederhanaan ini menggunakan hukum dasar aljabar Boolean dan hukum Demorgan untuk memudahkan implementasi dengan gerbang logika.