1. **Énoncé du problème :** On pompe de l'huile à travers un tuyau d'acier de longueur $L=1829$ m et diamètre intérieur $d=0.406$ m. La pression en A est $P_A=13.8$ kPa, le débit volumique est $Q=198$ l/s = 0.198 m³/s, la viscosité cinématique est $\nu=5.16 \times 10^{-6}$ m²/s, la densité est $\rho=0.861 \times 10^3$ kg/m³, et la rugosité absolue est $\epsilon=1.83$ mm = 0.00183 m. On cherche : a) La puissance fournie par la pompe. b) La pression en B. c) Tracer la ligne piézométrique. 2. **Formules et règles importantes :** - La puissance hydraulique fournie par la pompe est $P=\rho g Q H_p$ où $H_p$ est la hauteur manométrique de la pompe. - La perte de charge due à la friction est calculée par la formule de Darcy-Weisbach : $$h_f = f \frac{L}{d} \frac{v^2}{2g}$$ avec $v=\frac{Q}{A}$ la vitesse, $A=\frac{\pi d^2}{4}$ la section, et $f$ le coefficient de friction. - Le nombre de Reynolds est $Re=\frac{v d}{\nu}$. - Le coefficient de friction $f$ s'obtient par la relation de Colebrook-White ou approximation de Moody. - La pression est liée à la hauteur piézométrique par $P=\rho g z + \rho g h + \rho g \frac{v^2}{2g}$. 3. **Calculs intermédiaires :** - Calcul de la section : $$A=\frac{\pi (0.406)^2}{4} = 0.1295\, m^2$$ - Vitesse du fluide : $$v=\frac{Q}{A} = \frac{0.198}{0.1295} = 1.528\, m/s$$ - Nombre de Reynolds : $$Re=\frac{v d}{\nu} = \frac{1.528 \times 0.406}{5.16 \times 10^{-6}} = 120,200$$ - Rugosité relative : $$\frac{\epsilon}{d} = \frac{0.00183}{0.406} = 0.00451$$ 4. **Calcul du coefficient de friction $f$ :** Utilisation de l'équation de Colebrook-White implicite : $$\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\epsilon}{3.7 d} + \frac{2.51}{Re \sqrt{f}} \right)$$ Par approximation (Moody), pour $Re=1.2 \times 10^5$ et $\epsilon/d=0.00451$, on trouve $f \approx 0.03$ (valeur typique pour écoulement turbulent avec rugosité). 5. **Calcul de la perte de charge :** $$h_f = 0.03 \times \frac{1829}{0.406} \times \frac{(1.528)^2}{2 \times 9.81} = 0.03 \times 4507 \times 0.119 = 16.1\, m$$ 6. **Calcul de la hauteur manométrique de la pompe $H_p$ :** On note les altitudes : $z_A=101.6$ m, $z_B=100.0$ m, $z_C=124.4$ m. La pompe est entre A et C, donc la hauteur géométrique est : $$\Delta z = z_C - z_A = 124.4 - 101.6 = 22.8\, m$$ La pression en A est $P_A=13.8$ kPa, soit hauteur de pression : $$h_{pA} = \frac{P_A}{\rho g} = \frac{13800}{0.861 \times 1000 \times 9.81} = 1.63\, m$$ La vitesse en A est la même que précédemment, donc hauteur de vitesse : $$h_{v} = \frac{v^2}{2g} = \frac{(1.528)^2}{2 \times 9.81} = 0.119\, m$$ La hauteur manométrique totale fournie par la pompe est : $$H_p = (z_C + h_{pC} + h_v) - (z_A + h_{pA} + h_v) + h_f$$ On ne connaît pas $h_{pC}$ (pression en C), mais supposons que la pression en C est atmosphérique (0 gauge), donc $h_{pC}=0$. Donc : $$H_p = (124.4 + 0 + 0.119) - (101.6 + 1.63 + 0.119) + 16.1 = (124.519) - (103.349) + 16.1 = 37.27\, m$$ 7. **Puissance fournie par la pompe :** $$P = \rho g Q H_p = 0.861 \times 1000 \times 9.81 \times 0.198 \times 37.27 = 62,200\, W = 62.2\, kW$$ 8. **Pression en B :** Altitude $z_B=100.0$ m. On calcule la perte de charge entre A et B : Longueur $L_{AB} = 0.406$ km = 406 m. $$h_{f,AB} = f \frac{L_{AB}}{d} \frac{v^2}{2g} = 0.03 \times \frac{406}{0.406} \times 0.119 = 0.03 \times 1000 \times 0.119 = 3.57\, m$$ Hauteur de pression en A : $h_{pA}=1.63$ m. Hauteur de vitesse : $h_v=0.119$ m. Hauteur piézométrique en A : $$H_A = z_A + h_{pA} + h_v = 101.6 + 1.63 + 0.119 = 103.35\, m$$ Hauteur piézométrique en B : $$H_B = H_A - h_{f,AB} = 103.35 - 3.57 = 99.78\, m$$ Pression en B : $$P_B = \rho g (H_B - z_B - h_v) = 0.861 \times 1000 \times 9.81 \times (99.78 - 100.0 - 0.119) = 0.861 \times 1000 \times 9.81 \times (-0.339) = -2860\, Pa = -2.86\, kPa$$ La pression en B est donc légèrement inférieure à la pression atmosphérique (pression négative relative). 9. **Ligne piézométrique :** La ligne piézométrique est la hauteur $H = z + \frac{P}{\rho g}$ le long du tuyau. Elle diminue de $h_f$ entre A et C, avec une valeur intermédiaire en B calculée ci-dessus. **Réponses finales :** a) Puissance fournie par la pompe : $\boxed{62.2\, kW}$ b) Pression en B : $\boxed{-2.86\, kPa}$ (relative à l'atmosphère) c) La ligne piézométrique décroît de 16.1 m entre A et C, avec une valeur intermédiaire en B de 99.78 m de hauteur piézométrique.