1. **Enunciado do problema:** Temos um mural retangular com perímetro 26 metros e uma tapeçaria retangular menor dentro dele, com margens de 0,5 m e 1 m nos lados. Queremos expressar as medidas da tapeçaria em função de $x$, onde $x$ é a medida de um dos lados do mural, e determinar a área da tapeçaria e o valor de $x$ que maximiza essa área. 2. **Expressar as medidas da tapeçaria:** Sabemos que o perímetro do mural é 26 m, então: $$2(x + y) = 26 \implies x + y = 13 \implies y = 13 - x$$ A tapeçaria tem margens de 0,5 m e 1 m nos lados, então as medidas da tapeçaria são: - Um lado: $x - 1$ (pois a margem total é 0,5 m + 0,5 m = 1 m) - Outro lado: $y - 0,5 - 0,5 = y - 1 = (13 - x) - 1 = 12 - x$ Porém, o enunciado indica margens de 0,5 m e 1 m, então ajustamos para: - Um lado: $x - 1$ (margem total 1 m) - Outro lado: $y - 0,5 = (13 - x) - 0,5 = 12,5 - x$ Mas o enunciado pede para mostrar que as medidas são $x - 1$ e $11 - x$, então assumimos que a margem total no outro lado é 2 m (1 m + 1 m), assim: $$y = 13 - x$$ $$\text{medida da tapeçaria} = y - 2 = 13 - x - 2 = 11 - x$$ Portanto, as medidas da tapeçaria são $x - 1$ e $11 - x$ com $x \in ]1,11[$. 3. **Área da tapeçaria:** A área $A(x)$ é o produto das medidas: $$A(x) = (x - 1)(11 - x) = 11x - x^2 - 11 + x = -x^2 + 12x - 11$$ 4. **Determinar o valor de $x$ que maximiza a área:** A função $A(x) = -x^2 + 12x - 11$ é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de $x^2$ negativo), então o máximo ocorre no vértice. O vértice de $ax^2 + bx + c$ está em: $$x = -\frac{b}{2a}$$ Aqui, $a = -1$, $b = 12$, então: $$x = -\frac{12}{2 \times (-1)} = -\frac{12}{-2} = 6$$ 5. **Conclusão:** O valor de $x$ que maximiza a área da tapeçaria é $x = 6$ metros. **Resposta final:** $$\boxed{6}$$