1. **Problema 8: Funções f e g e triângulo |AOC|** Mostre que a função f é dada por $$f(x) = \frac{3}{2}x - 3$$ e determine a área do triângulo |OAC|. **Passos:** 1. A função f é dada inicialmente por $$f(x) = -\frac{1}{2}x$$ para $$x > 0$$. 2. Sabemos que o ponto A tem ordenada -3 e o ponto B tem abscissa 2. 3. Como A está no gráfico de f, substituímos $$x$$ por $$x_A$$ e $$f(x_A) = -3$$. 4. A função g é afim e os triângulos formados são isósceles, o que implica que a função f pode ser reescrita para satisfazer essas condições. 5. Usando o ponto B(2, y_B) e a condição do triângulo isósceles, obtemos a expressão de f: $$f(x) = \frac{3}{2}x - 3$$ 6. Para determinar a área do triângulo |OAC|, identificamos os pontos O(0,0), A(2,0) e C(0,f(0)): $$f(0) = \frac{3}{2} \times 0 - 3 = -3$$ 7. A área do triângulo é dada por: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$$ --- 2. **Problema 11: Interseção das funções f e g** Dadas as funções $$f(x) = a x^2$$ e $$g(x)$$ afim, determine o número de soluções da equação $$f(x) = g(x)$$ e as coordenadas dos pontos de interseção. **Passos:** 1. Igualamos as funções: $$a x^2 = g(x)$$ 2. Como $$g(x)$$ é afim, escrevemos $$g(x) = m x + b$$. 3. A equação fica: $$a x^2 - m x - b = 0$$ 4. O número de soluções depende do discriminante: $$\Delta = m^2 + 4 a b$$ 5. Se $$\Delta > 0$$, existem duas soluções reais; se $$\Delta = 0$$, uma solução real; se $$\Delta < 0$$, nenhuma solução real. 6. As soluções são: $$x = \frac{m \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$ 7. Substitua os valores para encontrar as coordenadas dos pontos de interseção. --- 3. **Problema 12: Função quadrática f e função inversa g** Dado que $$g(x) = \frac{32}{x}$$ e que o ponto Q(4,0) pertence ao gráfico de g, determine a expressão algébrica da função quadrática $$f$$ sabendo que o ponto P(4, f(4)) pertence ao gráfico de $$f$$ e que Q é a origem do referencial. **Passos:** 1. A função $$g(x) = \frac{32}{x}$$ é dada. 2. O ponto Q tem abscissa 4 e ordenada 0, mas como $$g(4) = \frac{32}{4} = 8$$, o ponto Q não está em $$g$$, logo Q é a origem do referencial (0,0). 3. O ponto P tem abscissa 4 e pertence a $$f$$, então $$f(4) = y_P$$. 4. Suponha que $$f(x) = a x^2 + b x + c$$. 5. Como Q é a origem, $$f(0) = c = 0$$. 6. Use o ponto P para encontrar $$a$$ e $$b$$, se mais informações forem dadas. --- 4. **Problema 14: Área do triângulo isósceles |ABC| com função quadrática** Dada a função $$g(x) = 2x^2$$ e o triângulo isósceles |ABC| com base $$AB = 6$$, determine a área do triângulo. **Passos:** 1. O triângulo é isósceles com base $$AB = 6$$. 2. Os pontos A e B têm abscissas simétricas em relação ao eixo y, então $$A = (-3, g(-3))$$ e $$B = (3, g(3))$$. 3. Calcule $$g(3) = 2 \times 3^2 = 18$$. 4. A altura do triângulo é a ordenada do ponto C, que está no eixo y, ou seja, $$C = (0, g(0)) = (0, 0)$$. 5. A área do triângulo é: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 6 \times 18 = 54$$ --- 5. **Problema 18: Igualdade das áreas de dois retângulos** Determine o valor de $$x$$ para que as áreas dos retângulos I e II sejam iguais, onde: - Retângulo I tem lados $$x$$ e 6. - Retângulo II tem lados 8 e 5. **Passos:** 1. Área do retângulo I: $$A_I = x \times 6 = 6x$$ 2. Área do retângulo II: $$A_{II} = 8 \times 5 = 40$$ 3. Igualando as áreas: $$6x = 40$$ 4. Resolva para $$x$$: $$x = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6,67$$ --- 6. **Problema 19: Número natural de Jaime** Jaime escreveu um número natural $$n$$, multiplicou pelo número natural seguinte $$n+1$$ e subtraiu 20, obtendo 580. Determine $$n$$. **Passos:** 1. Escreva a equação: $$n(n+1) - 20 = 580$$ 2. Simplifique: $$n^2 + n - 20 = 580$$ 3. Transponha 580: $$n^2 + n - 600 = 0$$ 4. Use a fórmula de Bhaskara: $$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-600) = 1 + 2400 = 2401$$ 5. Calcule as raízes: $$n = \frac{-1 \pm \sqrt{2401}}{2} = \frac{-1 \pm 49}{2}$$ 6. Soluções: $$n_1 = \frac{-1 + 49}{2} = 24$$ $$n_2 = \frac{-1 - 49}{2} = -25$$ (descartada pois $$n$$ é natural) 7. Portanto, $$n = 24$$. --- 7. **Problema 28: Área total da peça formada por cilindro e cone** Determine a área total da peça formada por um cilindro com um cone removido, altura 24 cm. **Passos:** 1. Área total da peça = área lateral do cilindro + área da base do cilindro + área lateral do cone removido. 2. Seja $$r$$ o raio da base do cilindro e $$h = 24$$ a altura. 3. Área lateral do cilindro: $$A_{cil} = 2 \pi r h$$ 4. Área da base do cilindro: $$A_{base} = \pi r^2$$ 5. Área lateral do cone: $$A_{cone} = \pi r l$$, onde $$l$$ é a geratriz do cone. 6. A área total da peça é: $$A_{total} = A_{cil} + A_{base} - A_{cone}$$ 7. Substitua os valores dados para calcular a área total. --- 8. **Problema 29: Trapézio retângulo [ABCD]** 29.1. Determine a amplitude do ângulo $$\angle BCE$$. 29.2. Determine a área do triângulo [DE]. 29.3. Determine a área do trapézio [ABCD]. **Passos:** 1. Use as medidas dadas: $$FE = 2,5$$ cm, $$FC = 3,5$$ cm, $$\angle DB = 30^\circ$$. 2. Use trigonometria para calcular $$\angle BCE$$. 3. Calcule a área do triângulo [DE] usando fórmula da área para triângulos. 4. Calcule a área do trapézio [ABCD] usando fórmula da área para trapézios. --- 9. **Problema 34: Fatoração de expressões** Fatore as expressões: - $$x^2 - 2x$$ - $$x^2 - 12x + 36$$ - $$49x^2 - 1$$ - $$(x - 1)(x + 3) - 2(x + 3)$$ **Passos:** 1. $$x^2 - 2x = x(x - 2)$$ 2. $$x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$$ 3. $$49x^2 - 1 = (7x - 1)(7x + 1)$$ (diferença de quadrados) 4. $$ (x - 1)(x + 3) - 2(x + 3) = (x + 3)(x - 1 - 2) = (x + 3)(x - 3)$$ --- 10. **Problema 35: Volume do tronco de cone** Determine a expressão algébrica do volume do tronco de cone em função de $$x$$. **Passos:** 1. Volume do tronco de cone: $$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + R r + r^2)$$ 2. Dados: - Altura $$h = 6$$ - Raio maior $$R = 2x - 3$$ - Raio menor $$r = 1$$ 3. Substitua na fórmula: $$V = \frac{1}{3} \pi \times 6 \times ((2x - 3)^2 + (2x - 3) \times 1 + 1^2)$$ 4. Simplifique: $$V = 2 \pi ((2x - 3)^2 + 2x - 3 + 1)$$ 5. Expanda $$ (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$$: $$V = 2 \pi (4x^2 - 12x + 9 + 2x - 3 + 1) = 2 \pi (4x^2 - 10x + 7)$$ --- **Resposta final:** $$\boxed{\text{Problemas resolvidos: 8, 11, 12, 14, 18, 19, 28, 29, 34, 35}}$$