1. Seja dada a função $f(x) = 5^{x-1} - 625$. 1.1. Domínio e contradomínio: - O domínio de uma função exponencial é todo o conjunto dos números reais, então $\text{dom}(f) = \mathbb{R}$. - O termo $5^{x-1}$ é sempre positivo, então $5^{x-1} > 0$ para todo $x$. - Portanto, $f(x) = 5^{x-1} - 625 > -625$. - Logo, o contradomínio é $(-625, +\infty)$. 1.2. Equação da assíntota: - A função exponencial $5^{x-1}$ tende a 0 quando $x \to -\infty$. - Assim, $f(x) = 5^{x-1} - 625 \to -625$ quando $x \to -\infty$. - A assíntota horizontal é $y = -625$. 1.3. Interseção com os eixos: - Interseção com o eixo $y$ (quando $x=0$): $$f(0) = 5^{0-1} - 625 = 5^{-1} - 625 = \frac{1}{5} - 625 = -624.8$$ Ponto: $(0, -624.8)$ - Interseção com o eixo $x$ (quando $f(x) = 0$): $$5^{x-1} - 625 = 0 \Rightarrow 5^{x-1} = 625$$ Sabemos que $625 = 5^4$, então: $$5^{x-1} = 5^4 \Rightarrow x-1 = 4 \Rightarrow x = 5$$ Ponto: $(5, 0)$ 1.4. Calcular $f(5)$: $$f(5) = 5^{5-1} - 625 = 5^4 - 625 = 625 - 625 = 0$$ 2. Determinar o domínio da função $f(x) = \log_5(4x + 5)$: - O argumento do logaritmo deve ser positivo: $$4x + 5 > 0 \Rightarrow 4x > -5 \Rightarrow x > -\frac{5}{4} = -1.25$$ - Portanto, o domínio é $\left(-1.25, +\infty\right)$. 3. Resolver as equações: 3.1. $\log(x) = \log(5 - 2x)$ - Como os logaritmos são iguais e a função log é estritamente crescente, os argumentos são iguais: $$x = 5 - 2x$$ $$x + 2x = 5$$ $$3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \approx 1.67$$ - Verificar domínio: $x > 0$ e $5 - 2x > 0 \Rightarrow 5 - 2(1.67) = 5 - 3.34 = 1.66 > 0$, válido. 3.2. $3^{2x} - \sqrt{3} = 0$ - Isolar a potência: $$3^{2x} = \sqrt{3} = 3^{1/2}$$ - Igualar expoentes: $$2x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4} = 0.25$$ 3.3. $4^{2x} - 2 = 62$ - Isolar a potência: $$4^{2x} = 64$$ - Sabemos que $64 = 4^3$, então: $$4^{2x} = 4^3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5$$