1. Problema: Calcular o limite $$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{5x^2 - x}$$ (indeterminação do tipo infinito sobre infinito). 2. Fórmula e regra: Quando temos uma indeterminação do tipo $$\frac{\infty}{\infty}$$, dividimos numerador e denominador pelo maior grau de $$x$$ para simplificar. 3. Passos: - Dividimos numerador e denominador por $$x^2$$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x^2}}{5 - \frac{1}{x}}$$ - Quando $$x \to \infty$$, $$\frac{2}{x^2} \to 0$$ e $$\frac{1}{x} \to 0$$. - Portanto, o limite é: $$\frac{3 + 0}{5 - 0} = \frac{3}{5}$$ Resposta final: $$\boxed{\frac{3}{5}}$$ --- 4. Problema: Calcular o limite $$\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 + 4x})$$ (indeterminação do tipo infinito menos infinito). 5. Regra: Para $$\infty - \infty$$, racionalizamos multiplicando por conjugado. 6. Passos: - Multiplicamos e dividimos por $$x + \sqrt{x^2 + 4x}$$: $$\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 + 4x}) \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 4x}}{x + \sqrt{x^2 + 4x}}$$ - Numerador: $$x^2 - (x^2 + 4x) = -4x$$ - Denominador: $$x + \sqrt{x^2 + 4x}$$ - Limite fica: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-4x}{x + \sqrt{x^2 + 4x}}$$ - Dividimos numerador e denominador por $$x$$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-4}{1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x}}}$$ - Quando $$x \to \infty$$, $$\frac{4}{x} \to 0$$, então: $$\frac{-4}{1 + \sqrt{1 + 0}} = \frac{-4}{1 + 1} = \frac{-4}{2} = -2$$ Resposta final: $$\boxed{-2}$$ --- 7. Problema: Calcular o limite $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$$ (indeterminação do tipo um elevado a infinito). 8. Regra: Limite clássico que resulta em $$e$$. 9. Passos: - Reconhecemos a forma $$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$$ que tende a $$e$$ quando $$x \to \infty$$. Resposta final: $$\boxed{e}$$ --- 10. Problema: Calcular o limite $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$ (indeterminação do tipo zero sobre zero, trigonometria). 11. Regra: Limite fundamental da trigonometria. 12. Passos: - Quando $$x \to 0$$, $$\sin x \to 0$$ e $$x \to 0$$, temos $$\frac{0}{0}$$. - Sabemos que $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$. Resposta final: $$\boxed{1}$$ --- 11. Problema: Calcular o limite $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$$ (indeterminação do tipo zero sobre zero, raiz). 12. Regra: Racionalizar para eliminar a raiz. 13. Passos: - Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado $$\sqrt{1 + x} + 1$$: $$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x} - 1)(\sqrt{1 + x} + 1)}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + x - 1}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{1 + x} + 1)}$$ - Cancelamos $$x$$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt{1 + x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1}$$ - Quando $$x \to 0$$: $$\frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$ Resposta final: $$\boxed{\frac{1}{2}}$$