1. **Calcule sempre que possível.** **a)** Calcular $3 \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 6 & 1\end{bmatrix}$. 1. Multiplicamos cada matriz pelo seu escalar: $$3 \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 6 & 3\end{bmatrix}$$ $$2 \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 6 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 4 \\ 12 & 2\end{bmatrix}$$ 2. Somamos as matrizes resultantes elemento a elemento: $$\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 6 & 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & 4 \\ 12 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3+0 & 0+4 \\ 6+12 & 3+2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & 4 \\ 18 & 5\end{bmatrix}$$ **Resposta a):** $\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 18 & 5\end{bmatrix}$ **b)** Multiplicar as matrizes $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0\end{bmatrix}$ 1. Verificamos que a multiplicação é possível porque a primeira matriz tem 2 colunas e a segunda tem 2 linhas. 2. Calculamos cada elemento da matriz resultante: - Posição (1,1): $1\times1 + 2\times2 = 1 + 4 = 5$ - Posição (1,2): $1\times0 + 2\times1 = 0 + 2 = 2$ - Posição (1,3): $1\times1 + 2\times0 = 1 + 0 = 1$ - Posição (2,1): $3\times1 + 1\times2 = 3 + 2 = 5$ - Posição (2,2): $3\times0 + 1\times1 = 0 + 1 = 1$ - Posição (2,3): $3\times1 + 1\times0 = 3 + 0 = 3$ - Posição (3,1): $0\times1 + 3\times2 = 0 + 6 = 6$ - Posição (3,2): $0\times0 + 3\times1 = 0 + 3 = 3$ - Posição (3,3): $0\times1 + 3\times0 = 0 + 0 = 0$ 3. Matriz resultante: $$\begin{bmatrix}5 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \\ 6 & 3 & 0\end{bmatrix}$$ **Resposta b):** $\begin{bmatrix}5 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \\ 6 & 3 & 0\end{bmatrix}$ 2. **Considere as matrizes:** $A = \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -1\end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1\end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix}2 & -1 \\ -2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$ **a)** Calcular $2B + 3C$ 1. Multiplicamos cada matriz pelo seu escalar: $$2B = 2 \times \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 2 \\ 4 & 2 \\ 6 & 2\end{bmatrix}$$ $$3C = 3 \times \begin{bmatrix}2 & -1 \\ -2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & -3 \\ -6 & 3 \\ 3 & 6\end{bmatrix}$$ 2. Somamos as matrizes: $$\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 4 & 2 \\ 6 & 2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}6 & -3 \\ -6 & 3 \\ 3 & 6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2+6 & 2-3 \\ 4-6 & 2+3 \\ 6+3 & 2+6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8 & -1 \\ -2 & 5 \\ 9 & 8\end{bmatrix}$$ **Resposta 2a):** $\begin{bmatrix}8 & -1 \\ -2 & 5 \\ 9 & 8\end{bmatrix}$ **b)** Calcular $BC^T$ 1. Transpor $C$: $$C^T = \begin{bmatrix}2 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 2\end{bmatrix}$$ 2. Multiplicar $B$ (3x2) por $C^T$ (2x3) resulta em matriz 3x3. 3. Calculamos cada elemento: - (1,1): $1\times2 + 1\times(-1) = 2 -1 = 1$ - (1,2): $1\times(-2) + 1\times1 = -2 +1 = -1$ - (1,3): $1\times1 + 1\times2 = 1 + 2 = 3$ - (2,1): $2\times2 + 1\times(-1) = 4 -1 = 3$ - (2,2): $2\times(-2) + 1\times1 = -4 +1 = -3$ - (2,3): $2\times1 + 1\times2 = 2 + 2 = 4$ - (3,1): $3\times2 + 1\times(-1) = 6 -1 = 5$ - (3,2): $3\times(-2) + 1\times1 = -6 +1 = -5$ - (3,3): $3\times1 + 1\times2 = 3 + 2 = 5$ 4. Matriz resultante: $$\begin{bmatrix}1 & -1 & 3 \\ 3 & -3 & 4 \\ 5 & -5 & 5\end{bmatrix}$$ **Resposta 2b):** $\begin{bmatrix}1 & -1 & 3 \\ 3 & -3 & 4 \\ 5 & -5 & 5\end{bmatrix}$ 3. **Resolver pelo método de eliminação de Gauss o sistema:** $$\begin{cases} 2y + 2z = 8 \\ x + 2y + z = 9 \\ x + y + z = 6 \end{cases}$$ 1. Reorganizamos as equações para a forma padrão: $$\begin{cases} 0x + 2y + 2z = 8 \\ x + 2y + z = 9 \\ x + y + z = 6 \end{cases}$$ 2. Montamos a matriz aumentada: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 2 & 8 \\ 1 & 2 & 1 & 9 \\ 1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]$$ 3. Trocar linha 1 com linha 2 para ter pivô na primeira linha: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & 2 & 2 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]$$ 4. Eliminar o $x$ da linha 3 subtraindo linha 1: $$L_3 \to L_3 - L_1: \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & 2 & 2 & 8 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \end{array}\right]$$ 5. Dividir linha 2 por 2 para simplificar: $$L_2 \to \frac{1}{2}L_2: \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & \cancel{2} \to 1 & \cancel{2} \to 1 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \end{array}\right]$$ 6. Eliminar o $y$ da linha 3 somando linha 2: $$L_3 \to L_3 + L_2: \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]$$ 7. Eliminar o $z$ da linha 2 subtraindo linha 3: $$L_2 \to L_2 - L_3: \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & 1 & \cancel{1} - \cancel{1} = 0 & 4 - 1 = 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]$$ 8. Eliminar o $z$ da linha 1 subtraindo linha 3: $$L_1 \to L_1 - L_3: \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & \cancel{1} - \cancel{1} = 0 & 9 - 1 = 8 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]$$ 9. Eliminar o $y$ da linha 1 subtraindo 2 vezes linha 2: $$L_1 \to L_1 - 2L_2: \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \cancel{2} - 2 \times 1 = 0 & 0 & 8 - 2 \times 3 = 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]$$ 10. Resultado final: $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 1 \end{cases}$$ **Resposta 3:** $x=2$, $y=3$, $z=1$ 4. **Número de arestas e vértices dos grafos:** **a)** Grafo com vértices $A,B,C,D,E,F,G,H$ e arestas $A-B$, $A-H$, $B-H$, $B-C$, $C-D$, $D-E$, $E-F$, $E-G$, $H-B$. - Número de vértices: 8 (A,B,C,D,E,F,G,H) - Número de arestas: Contamos as arestas listadas: $A-B$, $A-H$, $B-H$, $B-C$, $C-D$, $D-E$, $E-F$, $E-G$ (8 arestas) **b)** Grafo com vértices $A,B,C,D,E$ e arestas $A-B$, $A-E$, $E-D$, $B-D$, $B-C$, $D-C$, $A-C$, $E-C$. - Número de vértices: 5 (A,B,C,D,E) - Número de arestas: 8 (listadas) **Resposta 4a:** 8 vértices, 8 arestas **Resposta 4b:** 5 vértices, 8 arestas