1. **Enunciado do problema:** Verificar por indução matemática a validade da fórmula fechada do n-ésimo número triangular, que é dada por: $$T_n = \frac{n(n+1)}{2}$$ 2. **Base da indução:** Para $n=1$, o número triangular é $T_1 = 1$. Substituindo na fórmula: $$\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \times 2}{2} = 1$$ Portanto, a fórmula é válida para $n=1$. 3. **Hipótese de indução:** Suponha que a fórmula seja válida para algum $k \geq 1$, ou seja: $$T_k = \frac{k(k+1)}{2}$$ 4. **Passo indutivo:** Devemos provar que a fórmula é válida para $k+1$, ou seja: $$T_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$ Sabemos que o número triangular seguinte é o anterior mais o próximo número natural: $$T_{k+1} = T_k + (k+1)$$ Substituindo a hipótese de indução: $$T_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$$ Colocando em evidência $k+1$: $$T_{k+1} = (k+1)\left(\frac{k}{2} + 1\right)$$ Simplificando dentro do parênteses: $$T_{k+1} = (k+1)\left(\frac{k + 2}{2}\right)$$ Expressando com uma fração única: $$T_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$ 5. **Conclusão:** Como a fórmula vale para $n=1$ e se vale para $n=k$ então vale para $n=k+1$, por indução matemática a fórmula está provada para todo $n \geq 1$. **Resposta final:** $$\boxed{T_n = \frac{n(n+1)}{2}}$$