1. Enunciado do problema: Calcular o produto dos números complexos $z_1 = -\sqrt{2} e^{\frac{1}{4} \pi i}$ e $z_2 = 6 - 2\sqrt{3} i$ e apresentar o resultado na forma trigonométrica. 2. Fórmulas importantes: Para multiplicar números complexos na forma trigonométrica ou polar, usamos a regra: $$z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1), \quad z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$$ $$z_1 \times z_2 = r_1 r_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \right)$$ 3. Primeiro, escrevemos $z_1$ na forma trigonométrica: - Módulo: $r_1 = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$ (o módulo é sempre positivo) - Argumento: $\theta_1 = \frac{1}{4} \pi$ (dado) 4. Agora, escrevemos $z_2 = 6 - 2\sqrt{3} i$ na forma trigonométrica: - Módulo: $$r_2 = \sqrt{6^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 4 \times 3} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ - Argumento: $$\theta_2 = \arctan \left( \frac{-2\sqrt{3}}{6} \right) = \arctan \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = -\frac{\pi}{6}$$ 5. Multiplicando os módulos: $$r = r_1 \times r_2 = \sqrt{2} \times 4\sqrt{3} = 4 \sqrt{6}$$ 6. Somando os argumentos: $$\theta = \theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{4} + \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$$ 7. Resultado na forma trigonométrica: $$z_1 \times z_2 = 4 \sqrt{6} \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right)$$ Resposta final: $\boxed{4 \sqrt{6} \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right)}$