1. Enunciado do problema: Calcular o produto dos números complexos $z_1 = \sqrt{2} e^{\frac{\pi i}{4}}$ e $z_2 = 6 - 2\sqrt{3} i$ e apresentar o resultado na forma trigonométrica. 2. Fórmulas importantes: Para multiplicar números complexos na forma trigonométrica, usamos: $$z_1 = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1), \quad z_2 = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$$ O produto é: $$z_1 z_2 = r_1 r_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \right)$$ 3. Primeiro, escrevemos $z_1$ na forma trigonométrica: $$z_1 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$ 4. Agora, convertemos $z_2 = 6 - 2\sqrt{3} i$ para a forma trigonométrica. Calculamos o módulo: $$r_2 = \sqrt{6^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 4 \times 3} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$$ 5. Calculamos o argumento $\theta_2$: $$\theta_2 = \arctan \left( \frac{-2\sqrt{3}}{6} \right) = \arctan \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = -\frac{\pi}{6}$$ 6. Assim, $z_2$ na forma trigonométrica é: $$z_2 = 4 \sqrt{3} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) \right)$$ 7. Multiplicamos os módulos: $$r_1 r_2 = \sqrt{2} \times 4 \sqrt{3} = 4 \sqrt{6}$$ 8. Somamos os argumentos: $$\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{4} + \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$$ 9. Portanto, o produto é: $$z_1 z_2 = 4 \sqrt{6} \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right)$$ 10. Resposta final: O produto $z_1 \times z_2$ na forma trigonométrica é $$\boxed{4 \sqrt{6} \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right)}$$