1. Planteamiento del problema: Se tienen los conjuntos: - $A = \{x : (x - 3)(x - 5)(x - 1) = 0\}$ - $B = \{x : x^2 + 2x - 3 = 0\}$ - $C = \{x : -4 < x \leq 5\}$ - $D = \{x : x = 2n + 1, n \in \mathbb{N}\}$ - Universo $U = \{x \in \mathbb{Z} : -10 \leq x \leq 10\}$ Se pide: a) Definir por extensión los conjuntos $A$, $B$ y $C$. b) Indicar la veracidad de $B \subseteq D$ y razonar. c) Calcular $(A \cap B)^\prime \cap C$. 2. Definición por extensión de los conjuntos: - Para $A$, resolver la ecuación: $$ (x - 3)(x - 5)(x - 1) = 0 $$ Esto es cierto si alguno de los factores es cero: $$ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 $$ $$ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 $$ $$ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 $$ Por tanto: $$ A = \{1, 3, 5\} $$ - Para $B$, resolver la ecuación cuadrática: $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ Usamos la fórmula general: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} $$ $$ x = \frac{-2 \pm 4}{2} $$ Dos soluciones: $$ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 $$ Por tanto: $$ B = \{ -3, 1 \} $$ - Para $C$, es un intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: $$ C = \{ x \in \mathbb{R} : -4 < x \leq 5 \} $$ 3. Veracidad de $B \subseteq D$: Recordemos que: $$ D = \{ x : x = 2n + 1, n \in \mathbb{N} \} $$ Son los números impares positivos (ya que $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$). Los elementos de $B$ son $-3$ y $1$. - $1$ es impar y positivo, pertenece a $D$ (para $n=0$ no está definido, pero si $\mathbb{N}$ incluye el 0, $n=0$ da $1$, si no, $n=0$ no está en $\mathbb{N}$; asumiendo $\mathbb{N} = \{1,2,3,...\}$, $1=2(0)+1$ no es válido, pero $1=2(0)+1$ con $n=0$ no está en $\mathbb{N}$, entonces $1$ no está en $D$ si $n$ empieza en 1. Para $n=1$, $2(1)+1=3$, no 1. Por tanto, $1 \notin D$ si $\mathbb{N} = \{1,2,3,...\}$. - $-3$ es impar pero negativo, no está en $D$ porque $n$ es natural y $2n+1$ es siempre positivo. Por tanto, $B \not\subseteq D$. 4. Cálculo de $(A \cap B)^\prime \cap C$: - Primero, $A \cap B$: $$ A = \{1, 3, 5\}, B = \{-3, 1\} $$ Intersección: $$ A \cap B = \{1\} $$ - Complemento respecto al universo $U = \{-10, -9, ..., 9, 10\}$: $$ (A \cap B)^\prime = U \setminus \{1\} = \{-10, -9, ..., 0, 2, 3, ..., 10\} $$ - Ahora intersectamos con $C = \{x : -4 < x \leq 5\}$, es decir, los enteros entre $-3$ y $5$ inclusive: $$ C \cap (A \cap B)^\prime = \{x \in U : -4 < x \leq 5, x \neq 1\} $$ Los enteros en $C$ son: $$ \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} $$ Quitamos el $1$ porque está en $(A \cap B)$: $$ \{-3, -2, -1, 0, 2, 3, 4, 5\} $$ Respuesta final: - a) $A = \{1, 3, 5\}$, $B = \{-3, 1\}$, $C = \{x : -4 < x \leq 5\}$ - b) $B \subseteq D$ es falso. - c) $(A \cap B)^\prime \cap C = \{-3, -2, -1, 0, 2, 3, 4, 5\}$