1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una población inicial $P_0 = 200$ individuos. Después de $t = 5$ meses, la población es $P(5) = 500$. El modelo de crecimiento es $$P(t) = P_0 \cdot e^{kt}$$ donde $k$ es la constante de crecimiento que queremos encontrar. 2. **Encontrar la constante $k$:** Usamos la fórmula con los datos conocidos: $$500 = 200 \cdot e^{5k}$$ Dividimos ambos lados entre 200: $$\frac{500}{200} = e^{5k}$$ $$2.5 = e^{5k}$$ Aplicamos logaritmo natural a ambos lados: $$\ln(2.5) = 5k$$ Despejamos $k$: $$k = \frac{\ln(2.5)}{5}$$ Calculamos el valor numérico: $$k \approx \frac{0.9163}{5} = 0.1833$$ 3. **Calcular la población después de 10 meses:** Usamos la fórmula con $t=10$ y $k=0.1833$: $$P(10) = 200 \cdot e^{0.1833 \times 10} = 200 \cdot e^{1.833}$$ Calculamos $e^{1.833}$: $$e^{1.833} \approx 6.25$$ Entonces: $$P(10) \approx 200 \times 6.25 = 1250$$ **Respuesta final:** - La constante de crecimiento es aproximadamente $k = 0.1833$. - La población después de 10 meses será aproximadamente 1250 individuos.