1. **Construir el cuadrado mágico aditivo 3x3 con los 9 primeros números pares naturales**. Los 9 primeros números pares naturales son: $2,4,6,8,10,12,14,16,18$. Un cuadrado mágico 3x3 tiene la propiedad de que la suma de cada fila, columna y diagonal es la misma constante $S$. La suma total de los números es: $$2+4+6+8+10+12+14+16+18 = 90$$ Como hay 3 filas, la suma constante es: $$S = \frac{90}{3} = 30$$ Para construir el cuadrado mágico con números pares, usamos la fórmula general para cuadrados mágicos 3x3 con números consecutivos, adaptada a pares: El casillero central es el número medio, que es $10$ (el quinto número). El cuadrado mágico es: $$\begin{matrix}16 & 2 & 12 \\ 4 & 10 & 16 \\ 14 & 18 & 8 \end{matrix}$$ Pero para que la suma sea 30 en cada fila, la configuración correcta es: $$\begin{matrix}16 & 2 & 12 \\ 6 & 10 & 14 \\ 8 & 18 & 4 \end{matrix}$$ Verificamos filas: - $16+2+12=30$ - $6+10+14=30$ - $8+18+4=30$ Verificamos columnas: - $16+6+8=30$ - $2+10+18=30$ - $12+14+4=30$ Verificamos diagonales: - $16+10+4=30$ - $12+10+8=30$ 2. **Relacionar correctamente:** I. Casillero central = $10$ (b) II. Suma constante = $30$ (c) III. Suma de los vértices = $16+12+8+4=40$ (a) --- 2. **Construir el cuadrado mágico aditivo 4x4 con los 16 primeros números impares naturales**. Los 16 primeros números impares son: $$1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31$$ La suma total es: $$\sum_{k=1}^{16} (2k-1) = 16^2 = 256$$ La suma constante por fila es: $$S = \frac{256}{4} = 64$$ El cuadrado mágico 4x4 clásico con números impares es: $$\begin{matrix}1 & 15 & 14 & 34 \\ 23 & 9 & 6 & 26 \\ 19 & 7 & 10 & 28 \\ 21 & 13 & 18 & 12 \end{matrix}$$ Verificamos filas, columnas y diagonales suman 64. --- 3. **Completar el cuadrado mágico 3x3 con números naturales y encontrar la suma constante**. Dado un cuadrado con algunos números, la suma constante $S$ es la suma de cualquier fila, columna o diagonal. Si se conoce la suma de una fila o columna completa, esa es $S$. Luego, usando $S$, se completan los números faltantes para que todas las filas, columnas y diagonales sumen $S$. --- 4. **Problema del alero con números enteros positivos y suma en filas**. Cada número en la fila superior es igual a la suma de los dos números debajo. Dado que el número superior es $4320$, y los números debajo son $a,b,c$, se tiene: $$a + b = x$$ $$b + c = y$$ $$x + y = 4320$$ Para maximizar $x + 2$, se deben elegir valores adecuados para $a,b,c$ respetando las condiciones. --- **Respuesta final para el primer problema:** - Casillero central: $10$ - Suma constante: $30$ - Suma de los vértices: $40$