1. Problema: ¿Cuál es la pendiente de la función afín definida por la ecuación $y=-3x+5$? 2. Fórmula: La función afín tiene la forma general $y=mx+b$, donde $m$ es la pendiente y $b$ es la ordenada al origen. 3. En la ecuación dada, $y=-3x+5$, identificamos que $m=-3$ y $b=5$. 4. Por lo tanto, la pendiente es $\boxed{-3}$. --- 1. Problema: Si una función afín pasa por el punto $(0,4)$ y tiene una pendiente de $2$, ¿cuál es su expresión algebraica? 2. Fórmula: La función afín es $y=mx+b$. Si pasa por $(x_0,y_0)$, entonces $y_0=m x_0 + b$. 3. Dado $m=2$ y el punto $(0,4)$, sustituimos para encontrar $b$: $$4 = 2 \times 0 + b \Rightarrow b=4$$ 4. La función es $y=2x+4$. --- 1. Problema: ¿Hacia dónde abre la parábola representada por $f(x)=-2x^2+4x-1$? 2. Regla: Si el coeficiente de $x^2$ es negativo, la parábola abre hacia abajo; si es positivo, hacia arriba. 3. Aquí, el coeficiente es $-2$ (negativo), por lo que la parábola abre hacia abajo. --- 1. Problema: ¿Cuál es el vértice de la función cuadrática $f(x)=x^2-4x+3$? 2. Fórmula para el vértice: $x_v = -\frac{b}{2a}$, $y_v = f(x_v)$, donde $f(x)=ax^2+bx+c$. 3. Aquí, $a=1$, $b=-4$, $c=3$. 4. Calculamos $x_v$: $$x_v = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$ 5. Calculamos $y_v$: $$y_v = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$ 6. El vértice es $(2,-1)$. --- 1. Problema: Dada la función afín $f(x) = \frac{1}{2}x - 3$, determina las coordenadas de los puntos donde la recta corta al eje $x$ y al eje $y$. 2. Para el corte con el eje $y$, $x=0$: $$f(0) = \frac{1}{2} \times 0 - 3 = -3$$ Entonces, el punto es $(0,-3)$. 3. Para el corte con el eje $x$, $f(x)=0$: $$0 = \frac{1}{2}x - 3$$ Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar el denominador: $$0 = \cancel{2} \times 0 = \cancel{2} \times \left(\frac{1}{2}x - 3\right) \Rightarrow 0 = x - 6$$ 4. Despejamos $x$: $$x = 6$$ 5. El punto de corte con el eje $x$ es $(6,0)$. --- 1. Problema: Halla la ecuación de la función afín cuya gráfica tiene pendiente $m=-4$ y pasa por el punto $P(1,5)$. 2. Fórmula: $y=mx+b$. Usamos el punto para encontrar $b$: $$5 = -4 \times 1 + b \Rightarrow 5 = -4 + b$$ 3. Despejamos $b$: $$b = 5 + 4 = 9$$ 4. La función es $y = -4x + 9$. --- 1. Problema: Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 5$, determina las coordenadas de su vértice e indica si es un punto máximo o mínimo. 2. Fórmula para el vértice: $x_v = -\frac{b}{2a}$, $y_v = f(x_v)$. 3. Aquí, $a=1$, $b=-6$, $c=5$. 4. Calculamos $x_v$: $$x_v = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3$$ 5. Calculamos $y_v$: $$y_v = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$$ 6. Como $a=1 > 0$, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un punto mínimo. 7. El vértice es $(3,-4)$ y es un mínimo. --- 1. Problema: Encuentra los puntos de corte con el eje $x$ (raíces) de la función cuadrática $g(x) = -2x^2 + 8x$. 2. Para encontrar las raíces, igualamos a cero: $$0 = -2x^2 + 8x$$ 3. Factorizamos: $$0 = -2x(x - 4)$$ 4. Igualamos cada factor a cero: $$-2x = 0 \Rightarrow x=0$$ $$x - 4 = 0 \Rightarrow x=4$$ 5. Los puntos de corte con el eje $x$ son $(0,0)$ y $(4,0)$. --- Respuesta final: - Pendiente de $y=-3x+5$ es $-3$. - Función afín con pendiente 2 y pasa por $(0,4)$ es $y=2x+4$. - La parábola $f(x)=-2x^2+4x-1$ abre hacia abajo. - Vértice de $f(x)=x^2-4x+3$ es $(2,-1)$. - Para $f(x)=\frac{1}{2}x-3$, cortes: eje $y$ en $(0,-3)$, eje $x$ en $(6,0)$. - Función con pendiente $-4$ y pasa por $(1,5)$ es $y=-4x+9$. - Vértice de $f(x)=x^2-6x+5$ es $(3,-4)$, punto mínimo. - Raíces de $g(x)=-2x^2+8x$ son $(0,0)$ y $(4,0)$.