1. **Planteamiento del problema:** Queremos probar por inducción matemática que la sucesión definida por: $$a_1 = 8$$ $$a_{n+1} = 7a_n + 1 - 6n$$ cumple que: $$a_n = 7^n + n$$ para todo $n \in \mathbb{N}^*$. 2. **Base de la inducción:** Para $n=1$, verificamos que la fórmula propuesta coincide con el término dado: $$a_1 = 7^1 + 1 = 7 + 1 = 8$$ Esto es cierto, por lo que la base de inducción se cumple. 3. **Hipótesis de inducción:** Supongamos que para algún $k \geq 1$ se cumple: $$a_k = 7^k + k$$ 4. **Paso inductivo:** Debemos probar que: $$a_{k+1} = 7^{k+1} + (k+1)$$ Usamos la definición de la sucesión: $$a_{k+1} = 7a_k + 1 - 6k$$ Sustituimos la hipótesis de inducción: $$a_{k+1} = 7(7^k + k) + 1 - 6k = 7^{k+1} + 7k + 1 - 6k$$ Simplificamos términos: $$a_{k+1} = 7^{k+1} + (7k - 6k) + 1 = 7^{k+1} + k + 1$$ 5. **Conclusión:** Hemos demostrado que si la fórmula es cierta para $n=k$, entonces también es cierta para $n=k+1$. Como la base de inducción es verdadera, por el principio de inducción matemática, la fórmula: $$a_n = 7^n + n$$ se cumple para todo $n \in \mathbb{N}^*$. **Respuesta final:** $$\boxed{a_n = 7^n + n}$$