1. **Planteamiento del problema:** Calcula los siguientes límites: a. $$\lim_{x \to 0} \left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2+2}$$ b. $$\lim_{x \to 1} \frac{\sin x^2}{1-\cos x}$$ 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Para límites con potencias, si la base tiende a un valor y el exponente a otro, podemos usar logaritmos para facilitar el cálculo. - Para límites con funciones trigonométricas, recordamos que $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ y $$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$. --- ### a. Cálculo de $$\lim_{x \to 0} \left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2+2}$$ 1. Evaluamos la base cuando $$x \to 0$$: $$\frac{0^2+1}{0^2-1} = \frac{1}{-1} = -1$$ 2. El exponente cuando $$x \to 0$$ es: $$0^2 + 2 = 2$$ 3. Por lo tanto, el límite es: $$\lim_{x \to 0} \left(-1\right)^2 = 1$$ 4. Sin embargo, debemos verificar que la función esté definida cerca de 0 y que no haya problemas con la base negativa elevada a potencias no enteras. Aquí el exponente es $$x^2 + 2$$, que es siempre mayor que 2, por lo que es un número real positivo, y la base se acerca a -1. 5. Para valores cercanos a 0, la base es cercana a -1, y el exponente cercano a 2, por lo que el límite es: $$1$$ --- ### b. Cálculo de $$\lim_{x \to 1} \frac{\sin x^2}{1-\cos x}$$ 1. Evaluamos directamente: Numerador: $$\sin(1^2) = \sin 1$$ (no es 0) Denominador: $$1 - \cos 1$$ (no es 0) 2. Como el denominador y numerador no tienden a 0, podemos evaluar directamente: $$\frac{\sin 1}{1 - \cos 1}$$ 3. Por lo tanto, el límite es: $$\frac{\sin 1}{1 - \cos 1}$$ 4. Si se desea, se puede dejar así o calcular numéricamente, pero el enunciado no pide aproximación. --- **Respuesta final:** a. $$1$$ b. $$\frac{\sin 1}{1 - \cos 1}$$