1. Problema: Clasificar los números -7, 0, 5/2, \sqrt{3}, \pi, 12 en naturales, enteros, racionales e irracionales. - Números naturales: Son los números positivos sin decimales ni fracciones, usados para contar. Aquí: 12. - Números enteros: Incluyen naturales, cero y negativos sin decimales ni fracciones. Aquí: -7, 0, 12. - Números racionales: Se pueden expresar como fracción \frac{a}{b} con enteros a y b \neq 0. Aquí: -7, 0, \frac{5}{2}, 12. - Números irracionales: No se pueden expresar como fracción exacta, tienen decimales infinitos no periódicos. Aquí: \sqrt{3}, \pi. 2. ¿Por qué todo número entero es racional? Porque cualquier entero \(z\) puede escribirse como \(\frac{z}{1}\), que es una fracción con denominador 1, cumpliendo la definición de número racional. 3. ¿Por qué no todo número racional es entero? Porque los racionales incluyen fracciones donde el numerador no es múltiplo del denominador, por ejemplo \(\frac{5}{2}\), que no es un entero. 4. Determinar el signo sin calcular: - \(-3 + (-5)\): Suma de dos negativos, resultado negativo. - \(4 \cdot (-2)\): Producto de positivo por negativo, resultado negativo. - \(-6 \div (-3)\): División de dos negativos, resultado positivo. - \((-7) - (+2)\): Resta de positivo a negativo, resultado negativo. 5. Resolver operaciones: 8. \(-12 + 7\) \[ -12 + 7 = \cancel{-12} + 7 = -5 \] 9. \(-\frac{3}{4} + \frac{5}{8}\) Para sumar, igualamos denominadores: \[ -\frac{3}{4} = -\frac{6}{8} \] Entonces: \[ -\frac{6}{8} + \frac{5}{8} = \frac{-6 + 5}{8} = \frac{-1}{8} \] 10. \(-15 \div 5\) \[ -15 \div 5 = \frac{-15}{5} = \cancel{\frac{-15}{5}} = -3 \] 11. \(-\frac{2}{3} \cdot -\frac{9}{5}\) Multiplicamos numeradores y denominadores: \[ \frac{-2 \cdot -9}{3 \cdot 5} = \frac{18}{15} = \frac{6}{5} \] 12. Calcular \(x^3\) cuando \(x = -2\) \[ (-2)^3 = -2 \cdot -2 \cdot -2 = -8 \] 13. Calcular \(\left(\frac{y}{2}\right)^4\) cuando \(y=1\) \[ \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16} \] 14. Calcular \(a^0\) para \(a \neq 0\) Por la ley de exponentes, cualquier número distinto de cero elevado a 0 es 1: \[ a^0 = 1 \] 15. Calcular \((-m)^2\) \[ (-m)^2 = (-1)^2 \cdot m^2 = 1 \cdot m^2 = m^2 \] 16. Simplificar \((x)^2 (x)^3\) \[ x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5 \] 17. Simplificar \(\frac{y^5}{y^2}\) \[ \frac{y^5}{y^2} = y^{5-2} = y^3 \] 18. Simplificar \((a^3 b^2)(a^2 b^4)\) \[ a^{3+2} b^{2+4} = a^5 b^6 \] 19. Simplificar \(\left(\frac{m}{n}\right)^3 \cdot \left(\frac{n}{m}\right)^2\) \[ \frac{m^3}{n^3} \cdot \frac{n^2}{m^2} = \frac{m^{3-2}}{n^{3-2}} = \frac{m}{n} \] Respuesta final: Clasificación, explicaciones, signos, cálculos y simplificaciones completados.