1. Problema: Calcular el límite $$\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + cx - e}{bx + a}$$ con $a=3$, $b=1$, $c=1$, $e=6$. 2. Fórmula y reglas: Para límites de funciones racionales, si al sustituir el valor de $x$ obtenemos una indeterminación $\frac{0}{0}$, intentamos factorizar y simplificar. 3. Sustitución directa: $$\frac{3(2)^2 + 1(2) - 6}{1(2) + 3} = \frac{3 \cdot 4 + 2 - 6}{2 + 3} = \frac{12 + 2 - 6}{5} = \frac{8}{5}$$ No hay indeterminación, el límite es $\frac{8}{5}$. --- 1. Problema: Calcular el límite $$\lim_{x \to 1} \frac{ex^3 + ax^2 - bx}{x^2 + cx}$$ con $e=6$, $a=3$, $b=1$, $c=1$. 2. Sustitución directa: $$\frac{6(1)^3 + 3(1)^2 - 1(1)}{1^2 + 1} = \frac{6 + 3 - 1}{1 + 1} = \frac{8}{2} = 4$$ --- 1. Problema: Calcular $$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 + 4x^2 - 11x - 30}{x^3 - 13x + 12}$$ eliminando indeterminación. 2. Factorizamos numerador y denominador: Numerador: $$x^3 + 4x^2 - 11x - 30$$ Probamos $x=3$: $$27 + 36 - 33 - 30 = 0$$ Entonces $(x-3)$ es factor. Dividimos por $(x-3)$: $$x^3 + 4x^2 - 11x - 30 = (x-3)(x^2 + 7x + 10)$$ Factorizamos cuadrático: $$x^2 + 7x + 10 = (x+5)(x+2)$$ Denominador: $$x^3 - 13x + 12$$ Probamos $x=3$: $$27 - 39 + 12 = 0$$ Entonces $(x-3)$ es factor. Dividimos: $$x^3 - 13x + 12 = (x-3)(x^2 + 3x - 4)$$ Factorizamos cuadrático: $$x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)$$ 3. Simplificamos: $$\frac{(x-3)(x+5)(x+2)}{(x-3)(x+4)(x-1)} = \frac{(x+5)(x+2)}{(x+4)(x-1)}$$ 4. Evaluamos límite: $$\lim_{x \to 3} \frac{(3+5)(3+2)}{(3+4)(3-1)} = \frac{8 \cdot 5}{7 \cdot 2} = \frac{40}{14} = \frac{20}{7}$$ --- 1. Problema: Calcular $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3x + 10} - 4}{x - 2}$$ eliminando indeterminación. 2. Sustitución directa da $\frac{0}{0}$, racionalizamos: $$\frac{\sqrt{3x + 10} - 4}{x - 2} \cdot \frac{\sqrt{3x + 10} + 4}{\sqrt{3x + 10} + 4} = \frac{3x + 10 - 16}{(x - 2)(\sqrt{3x + 10} + 4)} = \frac{3x - 6}{(x - 2)(\sqrt{3x + 10} + 4)}$$ 3. Factorizamos numerador: $$3(x - 2)$$ 4. Simplificamos: $$\frac{3 \cancel{(x - 2)}}{\cancel{(x - 2)}(\sqrt{3x + 10} + 4)} = \frac{3}{\sqrt{3x + 10} + 4}$$ 5. Evaluamos límite: $$\frac{3}{\sqrt{3(2) + 10} + 4} = \frac{3}{\sqrt{16} + 4} = \frac{3}{4 + 4} = \frac{3}{8}$$ --- 1. Problema: Calcular $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{4x^9 + 4x^4 + 4x^6}}{2x^2 + 6x}$$. 2. Factorizamos dentro de la raíz cúbica: $$\sqrt[3]{4x^9 + 4x^6 + 4x^4} = \sqrt[3]{4x^9(1 + x^{-3} + x^{-5})} = \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{x^9} \cdot \sqrt[3]{1 + x^{-3} + x^{-5}}$$ 3. Simplificamos: $$= \sqrt[3]{4} \cdot x^3 \cdot \sqrt[3]{1 + x^{-3} + x^{-5}}$$ 4. Dividimos por denominador: $$\frac{\sqrt[3]{4} \cdot x^3 \cdot \sqrt[3]{1 + x^{-3} + x^{-5}}}{2x^2 + 6x} = \frac{\sqrt[3]{4} \cdot x^3 \cdot \sqrt[3]{1 + x^{-3} + x^{-5}}}{x^2(2 + 6/x)}$$ 5. Simplificamos: $$= \frac{\sqrt[3]{4} \cdot x^3}{x^2} \cdot \frac{\sqrt[3]{1 + x^{-3} + x^{-5}}}{2 + 6/x} = x \cdot \frac{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{1 + x^{-3} + x^{-5}}}{2 + 6/x}$$ 6. Cuando $x \to \infty$, $x \to \infty$, $\sqrt[3]{1 + x^{-3} + x^{-5}} \to 1$, y $6/x \to 0$. 7. Por lo tanto, el límite es: $$\lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{\sqrt[3]{4} \cdot 1}{2 + 0} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{4}}{2} x = \infty$$ --- 1. Problema: Calcular $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} + \frac{x^3 + 6x^2}{2x^2} \right)$$. 2. Separar límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{x^3 + 6x^2}{2x^2}$$ 3. Sabemos que: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ 4. Simplificamos segundo término: $$\frac{x^3 + 6x^2}{2x^2} = \frac{x^2(x + 6)}{2x^2} = \frac{\cancel{x^2}(x + 6)}{2 \cancel{x^2}} = \frac{x + 6}{2}$$ 5. Evaluamos límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{x + 6}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3$$ 6. Sumamos resultados: $$1 + 3 = 4$$ Respuesta final: 1.1) $\frac{8}{5}$ 1.2) $4$ 2.1) $\frac{20}{7}$ 2.2) $\frac{3}{8}$ 2.3) $\infty$ 2.4) $4$