1. **Enunciato del problema:** Sia $P(t)$ il numero di fenicotteri al tempo $t$ in anni, con $P(0)=400$. Negli anni dispari la popolazione quadruplica, mentre negli anni pari si riduce del 75%. Calcolare $P(5.5)$. 2. **Analisi del problema:** - Anni dispari: crescita con tasso costante, quadruplica ($\times 4$) alla fine dell'anno. - Anni pari: decrescita con tasso costante, riduzione del 75% (rimane il 25%, cioè $\times 0.25$). 3. **Calcolo passo passo:** - $P(0) = 400$ - Anno 1 (dispari): $P(1) = 4 \times P(0) = 4 \times 400 = 1600$ - Anno 2 (pari): $P(2) = 0.25 \times P(1) = 0.25 \times 1600 = 400$ - Anno 3 (dispari): $P(3) = 4 \times P(2) = 4 \times 400 = 1600$ - Anno 4 (pari): $P(4) = 0.25 \times P(3) = 0.25 \times 1600 = 400$ - Anno 5 (dispari): $P(5) = 4 \times P(4) = 4 \times 400 = 1600$ 4. **Calcolo per $t=5.5$ anni:** A metà del sesto anno (anno 6, pari), la popolazione decresce con tasso costante. La riduzione totale in un anno è del 75%, quindi la popolazione finale è il 25% di quella iniziale. La funzione di decrescita nel sesto anno è esponenziale con fattore $0.25$ in un anno, quindi il tasso di decrescita annuo è $r$ tale che: $$ P(6) = P(5) \times e^{r \times 1} = 0.25 \times P(5) $$ Quindi: $$ e^{r} = 0.25 \Rightarrow r = \ln(0.25) = \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln(4) $$ La popolazione a $t=5.5$ è: $$ P(5.5) = P(5) \times e^{r \times 0.5} = 1600 \times e^{-\ln(4) \times 0.5} = 1600 \times e^{-0.5 \ln(4)} $$ Usando la proprietà $e^{\ln(a)} = a$: $$ P(5.5) = 1600 \times (e^{\ln(4)})^{-0.5} = 1600 \times 4^{-0.5} = 1600 \times \frac{1}{\sqrt{4}} = 1600 \times \frac{1}{2} = 800 $$ 5. **Risposta finale:** La popolazione dopo 5 anni e 6 mesi è: $$ \boxed{P(5.5) = 800} $$