1. Problemet: Vi ska förklara vad derivatan är i kursen Ma 3c. 2. Definition: Derivatan av en funktion $f(x)$ vid en punkt $x=a$ beskriver hur snabbt funktionen förändras just där. 3. Formeln för derivatan är $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Det betyder att vi tittar på hur mycket funktionen ändras när vi rör oss en liten bit $h$ från $a$, och sedan låter $h$ bli väldigt liten. 4. Viktigt att veta är att derivatan ger lutningen på tangenten till grafen vid punkten $x=a$. 5. Exempel: Om $f(x) = x^2$, så är derivatan $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$$ 6. Vi kan förkorta med $h$ (som inte är noll, men går mot noll): $$\lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h}(2x + h)}{\cancel{h}} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$$ 7. Alltså är derivatan av $x^2$ lika med $2x$. 8. Sammanfattning: Derivatan visar lutningen på grafen och kan beräknas med gränsvärdesformeln. Det är ett verktyg för att förstå förändringstakt i matematik och fysik.