1. Diberikan set $A$ dan $A'$ adalah himpunan semua subset dari $A$. Misal $X, Y \in A'$. Kita definisikan operasi $\cup$ (gabungan) dan $\cap$ (irisan) pada $A'$. (a) Operasi biner berarti untuk setiap $X, Y \in A'$, hasil operasi juga berada di $A'$. Karena gabungan dan irisan dari dua subset adalah subset juga, maka $X \cup Y \in A'$ dan $X \cap Y \in A'$. Jadi, $\cup$ dan $\cap$ adalah operasi biner pada $A'$. (b) Bukti asosiatif: Untuk $X, Y, Z \in A'$, $$X \cup (Y \cup Z) = (X \cup Y) \cup Z$$ dan $$X \cap (Y \cap Z) = (X \cap Y) \cap Z$$ Ini adalah sifat dasar dari operasi himpunan gabungan dan irisan, sehingga keduanya asosiatif pada $A'$. (c) Unsur netral terhadap $\cup$ adalah himpunan kosong $\emptyset$ karena untuk setiap $X \in A'$, $$X \cup \emptyset = X$$ (d) Unsur netral terhadap $\cap$ adalah himpunan $A$ itu sendiri karena untuk setiap $X \in A'$, $$X \cap A = X$$ (e) $A'$ terhadap $\cup$ bukan grup karena tidak semua elemen memiliki invers terhadap $\cup$. Misal, tidak ada $Y$ sehingga $$X \cup Y = \emptyset$$ kecuali $X = \emptyset$. Jadi, invers tidak selalu ada. (f) $A'$ terhadap $\cap$ juga bukan grup karena tidak semua elemen memiliki invers terhadap $\cap$. Misal, tidak ada $Y$ sehingga $$X \cap Y = A$$ kecuali $X = A$. Jadi, invers tidak selalu ada. 2. Definisikan operasi $\odot$ pada $A'$ sebagai $$X \odot Y = (X \cup Y) \setminus (X \cap Y)$$ Ini adalah operasi simetris beda (symmetric difference). Bukti $A'$ membentuk grup terhadap $\odot$: - Tertutup: $X \odot Y \in A'$ karena hasilnya subset dari $A$. - Asosiatif: $\odot$ asosiatif pada himpunan. - Unsur netral: $\emptyset$ karena $X \odot \emptyset = X$. - Invers: Setiap elemen adalah invers dirinya sendiri karena $$X \odot X = \emptyset$$ Jadi, $A'$ dengan $\odot$ adalah grup abelian. 3. Jika $G$ grup hingga, setiap unsur $g \in G$ memiliki order, yaitu bilangan terkecil positif $n$ sehingga $$g^n = e$$ (dimana $e$ adalah unsur identitas). Karena $G$ hingga, urutan unsur pasti terbatas dan order selalu ada. 4. Contoh grup dengan unsur tanpa order adalah grup tak hingga seperti grup $(\mathbb{Z}, +)$, dimana setiap unsur selain identitas tidak memiliki order hingga. 5. Grup $U_7$ adalah grup unit modulo 7, yaitu $$U_7 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ Order setiap unsur adalah orde terkecil $k$ sehingga $$a^k \equiv 1 \pmod{7}$$ Order unsur: - $1$: order 1 - $2$: order 3 karena $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$ - $3$: order 6 karena $3^6 \equiv 1 \pmod{7}$ - $4$: order 3 karena $4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{7}$ - $5$: order 6 karena $5^6 \equiv 1 \pmod{7}$ - $6$: order 2 karena $6^2 = 36 \equiv 1 \pmod{7}$ 6. Grup $\mathbb{Z}_7$ adalah grup penjumlahan modulo 7, unsur-unsurnya adalah $$\{0,1,2,3,4,5,6\}$$ Order unsur $a$ adalah terkecil $k$ sehingga $$k \cdot a \equiv 0 \pmod{7}$$ Order unsur: - $0$: order 1 - $1$: order 7 - $2$: order 7 - $3$: order 7 - $4$: order 7 - $5$: order 7 - $6$: order 7 Jawaban lengkap ini mencakup semua soal yang diberikan.