1. **Masalah:** Diberikan set A dan A' adalah himpunan semua subset dari A. Diberikan operasi gabungan (\cup) dan irisan (\cap) pada A'. (a) Mengapa \cup dan \cap adalah operasi biner pada A'? 1. Operasi biner berarti hasil operasi pada dua elemen dari A' juga berada di A'. 2. Karena X, Y \in A' adalah subset dari A, maka X \cup Y dan X \cap Y juga subset dari A. 3. Jadi, X \cup Y \in A' dan X \cap Y \in A', sehingga keduanya operasi biner. (b) Buktikan \cup dan \cap assosiatif pada A'. 1. Asosiatif berarti (X \cup Y) \cup Z = X \cup (Y \cup Z) dan (X \cap Y) \cap Z = X \cap (Y \cap Z). 2. Ini adalah sifat dasar dari operasi himpunan, jadi keduanya assosiatif. (c) Apakah A' memiliki unsur netral terhadap \cup? 1. Unsur netral e untuk \cup harus memenuhi X \cup e = X untuk semua X \in A'. 2. Unsur netralnya adalah himpunan kosong \emptyset karena X \cup \emptyset = X. (d) Apakah A' memiliki unsur netral terhadap \cap? 1. Unsur netral e untuk \cap harus memenuhi X \cap e = X. 2. Unsur netralnya adalah A sendiri karena X \cap A = X. (e) Mengapa A' terhadap \cup bukan grup? 1. Grup membutuhkan invers untuk setiap elemen. 2. Tidak semua subset memiliki invers terhadap \cup karena tidak ada Y sehingga X \cup Y = \emptyset kecuali X = \emptyset. 3. Jadi, bukan grup. (f) Apakah A' terhadap \cap berupa grup? 1. Unsur netral adalah A. 2. Namun, invers tidak selalu ada karena tidak ada Y sehingga X \cap Y = A kecuali X = A. 3. Jadi, bukan grup. 2. **Masalah:** Definisikan operasi X \circ Y = (X \cup Y) \setminus (X \cap Y) pada A'. Buktikan A' membentuk grup terhadap \circ. 1. Operasi \circ adalah simetris beda (symmetric difference). 2. Operasi ini biner karena hasilnya subset dari A. 3. Asosiatif: (X \circ Y) \circ Z = X \circ (Y \circ Z) adalah sifat dari simetris beda. 4. Unsur netral adalah \emptyset karena X \circ \emptyset = X. 5. Invers: setiap elemen adalah invers dirinya sendiri karena X \circ X = \emptyset. 6. Jadi, (A', \circ) adalah grup abelian. 3. **Masalah:** Jika G grup hingga, buktikan setiap unsurnya memiliki order. 1. Order elemen g adalah bilangan terkecil n > 0 sehingga g^n = e. 2. Karena G hingga, urutan elemen pasti terbatas. 3. Dengan prinsip pigeonhole, pangkat g pasti berulang, sehingga order ada. 4. **Masalah:** Contoh grup dan unsur tanpa order. 1. Grup: (\mathbb{Z}, +) bilangan bulat dengan penjumlahan. 2. Unsur: 1. 3. Tidak ada n > 0 sehingga n \cdot 1 = 0 kecuali n = 0. 4. Jadi, 1 tidak memiliki order hingga. 5. **Masalah:** Tentukan semua unsur grup U_7 dan ordernya. 1. U_7 adalah grup unit modulo 7: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. Order elemen adalah orde terkecil n dengan a^n \equiv 1 \pmod{7}. 3. Hitung: - 1: order 1 - 2: 2^3=8 \equiv 1 (mod 7), order 3 - 3: 3^6=729 \equiv 1, order 6 - 4: 4^3=64 \equiv 1, order 3 - 5: 5^6=15625 \equiv 1, order 6 - 6: 6^2=36 \equiv 1, order 2 6. **Masalah:** Cari order semua unsur di grup Z_7. 1. Z_7 = {0,1,2,3,4,5,6} dengan operasi penjumlahan modulo 7. 2. Order elemen a adalah n terkecil dengan n \cdot a \equiv 0 (mod 7). 3. Karena 7 prima, order a adalah 7 jika a \neq 0. 4. Jadi: - 0: order 1 - 1,2,3,4,5,6: order 7