1. Diberikan fungsi permutasi: $$f = (1\ 3\ 5\ 6\ 7)(4\ 8\ 9),\quad g = (1\ 5\ 6)(2\ 7\ 4)(7\ 8)$$ 2. Kita diminta menghitung komposisi fungsi: (a) $f \circ g$ (b) $g \circ f$ (c) $f \circ f$ (d) $g \circ g$ (e) $h$ yang memenuhi $f \circ h = g$ 3. Komposisi fungsi $f \circ g$ berarti kita menerapkan $g$ terlebih dahulu, lalu $f$ pada hasilnya. 4. Mari kita hitung satu per satu: (a) $f \circ g$ - Ambil elemen dari domain, misal 1: $g(1) = 5$, lalu $f(5) = 7$, jadi $(f \circ g)(1) = 7$ - Lakukan untuk elemen lain sesuai siklus yang diberikan, hasilnya: $f \circ g = (1\ 6\ 3\ 8)(2\ 5\ 7\ 9\ 4)$ (b) $g \circ f$ - Ambil elemen 1: $f(1) = 3$, lalu $g(3) = 6$, jadi $(g \circ f)(1) = 6$ - Lanjutkan untuk elemen lain, hasil: $g \circ f = (1\ 4\ 7\ 5)(2\ 3\ 6\ 8\ 9)$ (c) $f \circ f$ - Terapkan $f$ dua kali: $f(1) = 3$, $f(3) = 5$, jadi $(f \circ f)(1) = 5$ - Hasil lengkap: $f \circ f = (1\ 5\ 7\ 3\ 6)(2\ 9\ 8\ 1)$ (d) $g \circ g$ - Terapkan $g$ dua kali: $g(1) = 5$, $g(5) = 6$, jadi $(g \circ g)(1) = 6$ - Hasil lengkap: $g \circ g = (1\ 6\ 5)(2\ 4\ 3)(7\ 8)$ (e) Mencari $h$ yang memenuhi $f \circ h = g$ - Dengan aturan komposisi invers: $$h = f^{-1} \circ g$$ - Diberikan: $$h = (1\ 3\ 9\ 8\ 6\ 7\ 4\ 2)$$ 5. Kesimpulan: - (a) $f \circ g = (1\ 6\ 3\ 8)(2\ 5\ 7\ 9\ 4)$ - (b) $g \circ f = (1\ 4\ 7\ 5)(2\ 3\ 6\ 8\ 9)$ - (c) $f \circ f = (1\ 5\ 7\ 3\ 6)(2\ 9\ 8\ 1)$ - (d) $g \circ g = (1\ 6\ 5)(2\ 4\ 3)(7\ 8)$ - (e) $h = f^{-1} \circ g = (1\ 3\ 9\ 8\ 6\ 7\ 4\ 2)$