1. Diberikan persamaan kutub $$\rho = 3(1 - \sin \theta)$$. a. Selidiki simetri kurva terhadap: - Sumbu polar ($\theta = 0$): Ganti $\theta$ dengan $-\theta$, maka $$\rho = 3(1 - \sin(-\theta)) = 3(1 + \sin \theta) \neq 3(1 - \sin \theta),$$ jadi tidak simetri terhadap sumbu polar. - Garis $\theta = \frac{\pi}{2}$: Ganti $\theta$ dengan $\pi - \theta$, maka $$\rho = 3(1 - \sin(\pi - \theta)) = 3(1 - \sin \theta),$$ jadi simetri terhadap garis $\theta = \frac{\pi}{2}$. - Titik kutub (origin): Ganti $\rho$ dengan $-\rho$ dan $\theta$ dengan $\theta + \pi$, maka $$-\rho = 3(1 - \sin(\theta + \pi)) = 3(1 + \sin \theta),$$ tidak sama dengan $\rho$, jadi tidak simetri terhadap titik kutub. b. Sketsa grafik kurva $\rho = 3(1 - \sin \theta)$ adalah sebuah kurva berbentuk cardioid yang bergeser ke bawah. c. Ubah ke koordinat Kartesius: Gunakan hubungan $$x = \rho \cos \theta, \quad y = \rho \sin \theta,$$ sehingga $$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \sin \theta = \frac{y}{\rho}.$$ Substitusi ke persamaan: $$\rho = 3\left(1 - \frac{y}{\rho}\right) \implies \rho = 3 - \frac{3y}{\rho}.$$ Kalikan kedua sisi dengan $\rho$: $$\rho^2 = 3\rho - 3y \implies x^2 + y^2 = 3\sqrt{x^2 + y^2} - 3y.$$ Bentuk ini adalah persamaan implisit dalam $x$ dan $y$. 2. Tentukan titik potong antara kurva polar: $$\rho = 2 \cos \theta \quad \text{dan} \quad \rho = 1.$$ Titik potong terjadi saat kedua $\rho$ sama: $$2 \cos \theta = 1 \implies \cos \theta = \frac{1}{2}.$$ Jadi $$\theta = \pm \frac{\pi}{3}.$$ Titik potong: $$\rho = 1, \quad \theta = \pm \frac{\pi}{3}.$$ Secara geometris, titik potong ini adalah titik di mana lingkaran $\rho=1$ memotong kurva $\rho=2\cos \theta$ (sebuah lingkaran dengan pusat di sumbu polar). 3. Diberikan persamaan parametrik: $$x = t^2 - 4, \quad y = \frac{1}{2} t^3 - 2t.$$ a. Hilangkan parameter $t$: Dari $x = t^2 - 4$, dapatkan $$t^2 = x + 4.$$ Karena $t$ bisa positif atau negatif, gunakan $t = \pm \sqrt{x+4}$. Substitusi ke $y$: $$y = \frac{1}{2} t^3 - 2t = t\left(\frac{1}{2} t^2 - 2\right) = t\left(\frac{1}{2}(x+4) - 2\right) = t\left(\frac{x}{2}\right).$$ Jadi $$y = \pm \frac{x}{2} \sqrt{x+4}.$$ b. Kurva ini memiliki dua cabang karena tanda $\pm$. 4. Titik Kartesius $T(\sqrt{3}, 1, 2\sqrt{3})$. a. Koordinat tabung $(r, \theta, z)$: $$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3 + 1} = 2,$$ $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6},$$ $$z = 2\sqrt{3}.$$ b. Koordinat bola $(\rho, \phi, \theta)$: $$\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{3 + 1 + 12} = 4,$$ $$\phi = \cos^{-1}\left(\frac{z}{\rho}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{4}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6},$$ $$\theta = \frac{\pi}{6}.$$ 5. Identifikasi permukaan: a. Koordinat tabung: $$r = 4 \sin \theta$$ adalah permukaan silinder yang bentuknya seperti silinder melengkung. b. Koordinat bola: $$\rho = 4 \cos \phi$$ adalah permukaan bola yang bergeser. c. Koordinat bola: $$\rho = \frac{\pi}{4}$$ adalah bola dengan jari-jari tetap $\frac{\pi}{4}$. 6. Permukaan kuadrik: $$x^2 + \frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{4} = 1.$$ a. Ini adalah hiperboloid satu lembar. b. Jejak: - Pada bidang $xy$ ($z=0$): $$x^2 + \frac{y^2}{9} = 1,$$ yaitu elips. - Pada bidang $xz$ ($y=0$): $$x^2 - \frac{z^2}{4} = 1,$$ yaitu hiperbola. - Pada bidang $yz$ ($x=0$): $$\frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{4} = 1,$$ yaitu hiperbola. 7. Permukaan: $$z = x^2 - y^2.$$ a. Ini adalah hiperbolik paraboloid. b. Irisan dengan bidang horizontal $z=k$: $$k = x^2 - y^2 \implies x^2 - y^2 = k.$$ - Jika $k > 0$, irisan adalah hiperbola dengan cabang terbuka ke arah $x$. - Jika $k < 0$, irisan adalah hiperbola dengan cabang terbuka ke arah $y$. - Jika $k=0$, irisan adalah dua garis lurus $y = \pm x$. Jawaban lengkap untuk 7 soal.