1. Zadání problému: Vypočítáme Taylorův polynom 1. řádu funkce $$f(x,y) = \frac{\tan x}{1+x^2+y^2}$$ v bodě $$A = (0,1)$$. 2. Vzorec pro Taylorův polynom 1. řádu funkce dvou proměnných v bodě $$(a,b)$$ je: $$ P_1(x,y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x - a) + f_y(a,b)(y - b) $$ Kde $f_x$ a $f_y$ jsou parciální derivace podle $x$ a $y$. 3. Nejprve spočítáme hodnotu funkce v bodě $A$: $$ f(0,1) = \frac{\tan 0}{1 + 0^2 + 1^2} = \frac{0}{1 + 0 + 1} = 0 $$ 4. Spočítáme parciální derivaci podle $x$: $$ f_x(x,y) = \frac{(1+x^2+y^2) \cdot \sec^2 x - \tan x \cdot 2x}{(1+x^2+y^2)^2} $$ 5. Dosadíme bod $A = (0,1)$ do $f_x$: $$ f_x(0,1) = \frac{(1+0+1) \cdot \sec^2 0 - 0 \cdot 0}{(1+0+1)^2} = \frac{2 \cdot 1 - 0}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ 6. Spočítáme parciální derivaci podle $y$: $$ f_y(x,y) = \frac{0 - \tan x \cdot 2y}{(1+x^2+y^2)^2} = - \frac{2y \tan x}{(1+x^2+y^2)^2} $$ 7. Dosadíme bod $A = (0,1)$ do $f_y$: $$ f_y(0,1) = - \frac{2 \cdot 1 \cdot \tan 0}{(1+0+1)^2} = 0 $$ 8. Sestavíme Taylorův polynom 1. řádu: $$ P_1(x,y) = 0 + \frac{1}{2}(x - 0) + 0 \cdot (y - 1) = \frac{x}{2} $$ Výsledek: Taylorův polynom 1. řádu funkce $$f(x,y)$$ v bodě $$(0,1)$$ je $$P_1(x,y) = \frac{x}{2}$$.