1. Diketahui fungsi $$Z = 5 + 3X^2 - 2Y^3 + 2X^2Y - 5X + 10Y$$. Kita diminta mencari turunan parsial pertama dan kedua: $$f_x, f_y, f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$$. 2. Turunan parsial pertama terhadap $$X$$ adalah: $$f_x = \frac{\partial Z}{\partial X} = 6X + 4XY - 5$$ Karena turunan dari $$3X^2$$ adalah $$6X$$, dari $$2X^2Y$$ terhadap $$X$$ adalah $$4XY$$, dan dari $$-5X$$ adalah $$-5$$. 3. Turunan parsial pertama terhadap $$Y$$ adalah: $$f_y = \frac{\partial Z}{\partial Y} = -6Y^2 + 2X^2 + 10$$ Karena turunan dari $$-2Y^3$$ adalah $$-6Y^2$$, dari $$2X^2Y$$ terhadap $$Y$$ adalah $$2X^2$$, dan dari $$10Y$$ adalah $$10$$. 4. Turunan parsial kedua terhadap $$X$$: $$f_{xx} = \frac{\partial^2 Z}{\partial X^2} = 6 + 4Y$$ Karena turunan dari $$6X$$ adalah $$6$$ dan dari $$4XY$$ terhadap $$X$$ adalah $$4Y$$. 5. Turunan parsial kedua terhadap $$Y$$: $$f_{yy} = \frac{\partial^2 Z}{\partial Y^2} = -12Y$$ Karena turunan dari $$-6Y^2$$ adalah $$-12Y$$ dan yang lain tidak bergantung pada $$Y$$. 6. Turunan parsial campuran $$f_{xy}$$: $$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial Y} \left( \frac{\partial Z}{\partial X} \right) = \frac{\partial}{\partial Y} (6X + 4XY - 5) = 4X$$ Karena hanya $$4XY$$ yang bergantung pada $$Y$$. Jadi, hasilnya adalah: $$f_x = 6X + 4XY - 5$$ $$f_y = -6Y^2 + 2X^2 + 10$$ $$f_{xx} = 6 + 4Y$$ $$f_{yy} = -12Y$$ $$f_{xy} = 4X$$