1. **Énoncé du problème** : Calculer le coût minimal pour fabriquer 100 paquets cadeaux contenant chacun deux contenants de chocolat : un prisme triangulaire et une demi-boule. 2. **Données et formules importantes** : - Coût des contenants : 0,10 par cm² d'aire totale. - Le prisme a une base triangle équilatéral de côté 4 cm et une hauteur de 4 cm. - La demi-boule a un rayon de 2 cm (car elle doit s'adapter à la hauteur du prisme). - Les boîtes ont des dimensions et prix donnés, il faut vérifier laquelle peut contenir les deux contenants côte à côte. 3. **Calcul de l'aire totale du prisme triangulaire** : - Aire base triangle équilatéral : $$A_{base} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}$$ cm². - Périmètre base : $$P = 3 \times 4 = 12$$ cm. - Aire latérale : $$A_{lat} = P \times hauteur = 12 \times 4 = 48$$ cm². - Aire totale prisme : $$A_{prisme} = 2 \times A_{base} + A_{lat} = 2 \times 4\sqrt{3} + 48 = 8\sqrt{3} + 48$$ cm². 4. **Calcul de l'aire totale de la demi-boule** : - Rayon : $$r = 2$$ cm (car hauteur prisme = 4 cm, demi-boule hauteur = rayon). - Aire surface sphère complète : $$4\pi r^2 = 4\pi \times 2^2 = 16\pi$$ cm². - Aire surface demi-boule (surface extérieure) : $$A_{demi} = 2\pi r^2 = 2\pi \times 4 = 8\pi$$ cm². 5. **Calcul du coût de fabrication des contenants** : - Coût prisme : $$C_{prisme} = 0,10 \times (8\sqrt{3} + 48)$$. - Coût demi-boule : $$C_{demi} = 0,10 \times 8\pi$$. - Valeurs approchées : $$\sqrt{3} \approx 1,732, \pi \approx 3,1416$$. - $$C_{prisme} = 0,10 \times (8 \times 1,732 + 48) = 0,10 \times (13,856 + 48) = 0,10 \times 61,856 = 6,1856$$. - $$C_{demi} = 0,10 \times 8 \times 3,1416 = 0,10 \times 25,1328 = 2,5133$$. - Coût total contenants par paquet : $$C_{contenants} = 6,1856 + 2,5133 = 8,6989$$. 6. **Vérification des dimensions des boîtes pour contenir les deux contenants côte à côte** : - Largeur totale des contenants : prisme base triangle équilatéral largeur = 4 cm, demi-boule diamètre = 4 cm, donc largeur totale = 8 cm. - Hauteur maximale = 4 cm. - Profondeur minimale = 4 cm (prisme hauteur). Boîtes : - Type A : 8,9 x 5 x 4 cm (longueur x profondeur x hauteur) - convient car longueur 8,9 > 8, profondeur 5 > 4, hauteur 4 = 4. - Type B : 8 x 4,2 x 4 cm - convient juste (longueur 8 = 8, profondeur 4,2 > 4, hauteur 4 = 4). - Type C : 6 x 6 x 6 cm - longueur 6 < 8 donc ne convient pas. 7. **Coût total par paquet cadeau** : - Type A : $$8,6989 + 3,50 = 12,1989$$. - Type B : $$8,6989 + 4,00 = 12,6989$$. Le choix minimal est la boîte Type A. 8. **Coût total pour 100 paquets** : $$100 \times 12,1989 = 1219,89$$. **Réponse finale** : Le coût minimal pour fabriquer 100 paquets cadeaux est environ **1219,89**.