1. **Énoncé du problème :** Andy a placé 16 000 000 Ariary à la banque avec un taux d'intérêt annuel de 5%. Il souhaite obtenir 7 639 200 Ariary d'intérêts. Nous devons déterminer le temps nécessaire pour ce placement en utilisant : a) L'intérêt simple. b) L'intérêt composé. 2. **Formules utilisées :** - Intérêt simple : $$I = P \times r \times t$$ où $I$ est l'intérêt, $P$ le principal, $r$ le taux annuel, $t$ le temps en années. - Intérêt composé : $$A = P \times (1 + r)^t$$ où $A$ est le montant total (principal + intérêts). 3. **Calcul du temps avec intérêt simple :** - On sait que $I = 7\,639\,200$, $P = 16\,000\,000$, $r = 0.05$. - Utilisons la formule : $$7\,639\,200 = 16\,000\,000 \times 0.05 \times t$$ - Simplifions : $$7\,639\,200 = 800\,000 \times t$$ - Isolons $t$ : $$t = \frac{7\,639\,200}{800\,000}$$ - Calculons : $$t = 9.549$$ années 4. **Calcul du temps avec intérêt composé :** - Le montant total $A = P + I = 16\,000\,000 + 7\,639\,200 = 23\,639\,200$. - Utilisons la formule : $$23\,639\,200 = 16\,000\,000 \times (1 + 0.05)^t$$ - Divisons les deux côtés par $16\,000\,000$ : $$\frac{23\,639\,200}{16\,000\,000} = (1.05)^t$$ - Simplifions : $$1.47745 = (1.05)^t$$ - Prenons le logarithme naturel des deux côtés : $$\ln(1.47745) = t \times \ln(1.05)$$ - Isolons $t$ : $$t = \frac{\ln(1.47745)}{\ln(1.05)}$$ - Calculons : $$t = \frac{0.390}{0.04879} = 7.99$$ années 5. **Conclusion :** - Avec l'intérêt simple, le temps nécessaire est environ $9.55$ ans. - Avec l'intérêt composé, le temps nécessaire est environ $8$ ans. - L'intérêt composé permet d'atteindre le même montant d'intérêts en moins de temps grâce à la capitalisation des intérêts.