1. **Énoncé du problème :** On considère les nombres complexes $Z_1 = (1 - i)(1 + 2i)$, $Z_2 = \frac{2+6i}{3-i}$, et $Z_3 = \frac{4i}{i-1}$. Il faut écrire ces nombres sous forme algébrique, placer leurs images $M_1, M_2, M_3$ dans le plan complexe, déterminer la nature du triangle $M_1 M_2 M_3$, et trouver $Z_4$ pour que $M_1 M_2 M_3 M_4$ soit un carré. 2. **Formules et règles importantes :** - Pour multiplier deux complexes : $(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$. - Pour diviser : $\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2 + d^2}$. - La forme algébrique d'un complexe est $x + yi$. - Pour déterminer la nature d'un triangle, on calcule les distances entre points. - Pour former un carré, le quatrième point $Z_4$ peut s'obtenir par rotation de $90^\circ$ autour d'un point. 3. **Calcul de $Z_1$ :** $$Z_1 = (1 - i)(1 + 2i) = 1 \times 1 + 1 \times 2i - i \times 1 - i \times 2i = 1 + 2i - i - 2i^2$$ Rappel : $i^2 = -1$, donc $$Z_1 = 1 + 2i - i - 2(-1) = 1 + i + 2 = 3 + i$$ 4. **Calcul de $Z_2$ :** $$Z_2 = \frac{2 + 6i}{3 - i} = \frac{(2 + 6i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{(2)(3) + (2)(i) + (6i)(3) + (6i)(i)}{3^2 - i^2}$$ $$= \frac{6 + 2i + 18i + 6i^2}{9 - (-1)} = \frac{6 + 20i + 6(-1)}{10} = \frac{6 + 20i - 6}{10} = \frac{20i}{10} = 2i$$ 5. **Calcul de $Z_3$ :** $$Z_3 = \frac{4i}{i - 1} = \frac{4i}{i - 1} \times \frac{-i - 1}{-i - 1} = \frac{4i(-i - 1)}{(i - 1)(-i - 1)}$$ Calcul du dénominateur : $$(i - 1)(-i - 1) = i(-i) + i(-1) - 1(-i) - 1(1) = -i^2 - i + i - 1 = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$$ Attention, le dénominateur est nul, donc il faut vérifier le calcul. Recalculons le dénominateur correctement : $$(i - 1)(-i - 1) = i(-i) + i(-1) - 1(-i) - 1(1) = -i^2 - i + i - 1 = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$$ Le dénominateur est nul, donc division impossible ainsi. Essayons une autre méthode : $$Z_3 = \frac{4i}{i - 1} = \frac{4i}{i - 1} \times \frac{i + 1}{i + 1} = \frac{4i(i + 1)}{(i - 1)(i + 1)}$$ Calcul du dénominateur : $$(i - 1)(i + 1) = i^2 + i - i - 1 = i^2 - 1 = -1 - 1 = -2$$ Calcul du numérateur : $$4i(i + 1) = 4i^2 + 4i = 4(-1) + 4i = -4 + 4i$$ Donc $$Z_3 = \frac{-4 + 4i}{-2} = \frac{-4}{-2} + \frac{4i}{-2} = 2 - 2i$$ 6. **Formes algébriques finales :** $$Z_1 = 3 + i$$ $$Z_2 = 0 + 2i$$ $$Z_3 = 2 - 2i$$ 7. **Placer $M_1, M_2, M_3$ :** - $M_1$ a pour coordonnées $(3,1)$ - $M_2$ a pour coordonnées $(0,2)$ - $M_3$ a pour coordonnées $(2,-2)$ 8. **Nature du triangle $M_1 M_2 M_3$ :** Calcul des distances : $$M_1 M_2 = \sqrt{(3-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$ $$M_2 M_3 = \sqrt{(0-2)^2 + (2+2)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$$ $$M_3 M_1 = \sqrt{(2-3)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$ Les côtés sont $\sqrt{10}, \sqrt{20}, \sqrt{10}$ donc deux côtés égaux, triangle isocèle. Calculons les angles pour vérifier si rectangle : Produit scalaire de $\overrightarrow{M_1 M_2}$ et $\overrightarrow{M_1 M_3}$ : $$\overrightarrow{M_1 M_2} = (-3,1), \quad \overrightarrow{M_1 M_3} = (-1,-3)$$ Produit scalaire : $$(-3)(-1) + (1)(-3) = 3 - 3 = 0$$ Donc angle droit en $M_1$. 9. **Déterminer $Z_4$ pour que $M_1 M_2 M_3 M_4$ soit un carré :** Le vecteur $\overrightarrow{M_1 M_2} = (-3,1)$ Pour obtenir $\overrightarrow{M_1 M_4}$, on fait une rotation de $90^\circ$ de $\overrightarrow{M_1 M_2}$ : $$\overrightarrow{M_1 M_4} = (-1,-3)$$ Donc $$M_4 = M_1 + \overrightarrow{M_1 M_4} = (3,1) + (-1,-3) = (2,-2)$$ Mais $M_4$ ne peut pas être $M_3$, donc on essaie avec $\overrightarrow{M_2 M_3}$ $$\overrightarrow{M_2 M_3} = (2,-4)$$ Rotation de $90^\circ$ : $$\overrightarrow{M_2 M_4} = (4,2)$$ Donc $$M_4 = M_2 + (4,2) = (0,2) + (4,2) = (4,4)$$ L'affixe de $M_4$ est donc $$Z_4 = 4 + 4i$$