1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux courbes, $C_f$ définie par $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$ sur $[0,1[$ et sa fonction inverse $C_{f^{-1}}$. On considère aussi les droites $x=0$ et $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. L'aire cherchée est celle de la région délimitée par ces courbes et droites. 2. **Description des courbes :** - La courbe $C_f$ est une fonction croissante et concave partant de l'origine $(0,0)$. - Elle atteint la valeur $f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$. - La courbe $C_{f^{-1}}$ est la fonction inverse de $f$, donc elle est symétrique par rapport à la droite $y=x$. 3. **Description des droites :** - La droite $x=0$ est l'axe vertical à gauche. - La droite $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ est une droite verticale à droite, marquant la limite supérieure en $x$. 4. **Zone délimitée :** - La région est comprise entre $x=0$ et $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. - En bas, la courbe $C_f$ part de $(0,0)$ et monte jusqu'à $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. - En haut, la courbe $C_{f^{-1}}$ part de $(0,0)$ et monte aussi jusqu'à $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. - La zone entre ces deux courbes et les droites verticales forme une forme en feuille. 5. **Axes et repères :** - Axe des abscisses marqué en $0$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $1$, et $2$. - Axe des ordonnées marqué en $0$ et $1$. 6. **Zone ombrée :** - La zone entre $C_f$, $C_{f^{-1}}$, $x=0$ et $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ est hachurée en diagonale, indiquant l'aire d'intérêt. En résumé, l'image montre deux courbes symétriques par rapport à la droite $y=x$, partant de l'origine et se rejoignant en $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, avec une zone en forme de feuille entre elles limitée par les droites verticales $x=0$ et $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, cette zone étant hachurée pour indiquer l'aire à calculer.