1. **Énoncé du problème** : Montrer que la fonction $d$ définie sur $E \times E$ par $$d(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = y \\ 1 & \text{si } x \neq y \end{cases}$$ est une distance. 2. **Rappel de la définition d'une distance** : Une fonction $d : E \times E \to \mathbb{R}$ est une distance si elle vérifie pour tous $x,y,z \in E$ : - (i) $d(x,y) \geq 0$ (positivité) - (ii) $d(x,y) = 0$ si et seulement si $x = y$ (identité de l'indiscernable) - (iii) $d(x,y) = d(y,x)$ (symétrie) - (iv) $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ (inégalité triangulaire) 3. **Vérification des propriétés** : - (i) Positivité : Par définition, $d(x,y)$ vaut soit 0 soit 1, donc toujours $\geq 0$. - (ii) Identité : $d(x,y) = 0$ si et seulement si $x = y$ par définition. - (iii) Symétrie : $d(x,y) = 1$ si $x \neq y$, donc $d(y,x) = 1$ aussi, et si $x = y$, $d(x,y) = d(y,x) = 0$. Donc $d(x,y) = d(y,x)$. - (iv) Inégalité triangulaire : On doit montrer $$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$$ Considérons les cas : - Si $x = z$, alors $d(x,z) = 0 \leq d(x,y) + d(y,z)$ car le membre de droite est $\geq 0$. - Si $x \neq z$, alors $d(x,z) = 1$. - Si $x = y$ et $y = z$, alors $x = z$, ce qui contredit $x \neq z$. - Si $x = y$ et $y \neq z$, alors $d(x,y) = 0$, $d(y,z) = 1$, donc $d(x,y) + d(y,z) = 1 \geq d(x,z) = 1$. - Si $x \neq y$ et $y = z$, alors $d(x,y) = 1$, $d(y,z) = 0$, donc $d(x,y) + d(y,z) = 1 \geq 1$. - Si $x \neq y$ et $y \neq z$, alors $d(x,y) = 1$, $d(y,z) = 1$, donc $d(x,y) + d(y,z) = 2 \geq 1$. Dans tous les cas, l'inégalité triangulaire est vérifiée. 4. **Conclusion** : La fonction $d$ vérifie toutes les propriétés d'une distance. Donc $d$ est une distance sur $E$. **Réponse finale** : $d$ est une distance.