1. **Énoncé du problème :** Modéliser la distance $d(t)$ entre Tai-lung et le papillon de nuit en fonction du temps $t$ en secondes. 2. **Données importantes :** - Le disque tourne à 45 tours par minute, soit $\frac{45}{60} = 0.75$ tours par seconde. - Le papillon se déplace sur un cercle de rayon variable entre 9 cm (position la plus proche) et 25 cm (position la plus éloignée) du chat. - La distance varie donc entre 9 cm et 25 cm, ce qui suggère un mouvement oscillatoire. - À $t=9$ s, la distance est 21 cm et le papillon se rapproche du chat. 3. **Formule utilisée :** La distance $d(t)$ peut être modélisée par une fonction cosinusoïdale : $$d(t) = A \cos(\omega t + \phi) + C$$ avec : - $A$ l'amplitude - $\omega$ la pulsation - $\phi$ la phase initiale - $C$ la valeur moyenne 4. **Calcul des paramètres :** - Amplitude $A = \frac{25 - 9}{2} = 8$ cm - Valeur moyenne $C = \frac{25 + 9}{2} = 17$ cm - Pulsation $\omega = 2\pi \times 0.75 = \frac{3\pi}{2}$ rad/s 5. **Détermination de la phase $\phi$ :** À $t=9$ s, $d(9) = 21$ cm et la distance diminue (le papillon se rapproche), donc la dérivée $d'(9) < 0$. On écrit : $$21 = 8 \cos\left(\frac{3\pi}{2} \times 9 + \phi\right) + 17$$ $$\Rightarrow 8 \cos\left(\frac{27\pi}{2} + \phi\right) = 4$$ $$\Rightarrow \cos\left(\frac{27\pi}{2} + \phi\right) = \frac{1}{2}$$ Les solutions pour $\cos \theta = \frac{1}{2}$ sont $\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$. Posons $\theta = \frac{27\pi}{2} + \phi$. 6. **Choix de la solution avec dérivée négative :** La dérivée est : $$d'(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi) = -8 \times \frac{3\pi}{2} \sin\left(\frac{3\pi}{2} t + \phi\right)$$ À $t=9$ : $$d'(9) = -12\pi \sin\left(\frac{27\pi}{2} + \phi\right) < 0$$ Donc $\sin\left(\frac{27\pi}{2} + \phi\right) > 0$. Parmi les solutions $\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $\theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, on choisit celle qui donne $\sin \theta > 0$. 7. **Calcul final de $\phi$ :** Prenons $\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$. On a : $$\phi = \theta - \frac{27\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi - \frac{27\pi}{2}$$ Pour $k=14$, $$\phi = \frac{\pi}{3} + 28\pi - \frac{27\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + 28\pi - 13.5\pi = \frac{\pi}{3} + 14.5\pi$$ On peut simplifier modulo $2\pi$. 8. **Expression finale :** $$d(t) = 8 \cos\left(\frac{3\pi}{2} t + \phi\right) + 17$$ avec $\phi$ calculé comme ci-dessus. --- **Réponse finale :** $$\boxed{d(t) = 8 \cos\left(\frac{3\pi}{2} t + \phi\right) + 17}$$ avec $\phi$ tel que $\cos\left(\frac{27\pi}{2} + \phi\right) = \frac{1}{2}$ et $\sin\left(\frac{27\pi}{2} + \phi\right) > 0$.