1. **Problème 2** : Encadrer les expressions données avec $2 < x < 4$ et $1 < y < 3$. - Pour $x + y$ : - Minimum : $2 + 1 = 3$ - Maximum : $4 + 3 = 7$ Donc $3 < x + y < 7$ - Pour $x - y$ : - Minimum : $2 - 3 = -1$ - Maximum : $4 - 1 = 3$ Donc $-1 < x - y < 3$ - Pour $\frac{x}{y}$ : - Minimum : $\frac{2}{3} \approx 0.6667$ - Maximum : $\frac{4}{1} = 4$ Donc $0.6667 < \frac{x}{y} < 4$ - Pour $y^2 - 9$ : - Minimum : $1^2 - 9 = 1 - 9 = -8$ - Maximum : $3^2 - 9 = 9 - 9 = 0$ Donc $-8 < y^2 - 9 < 0$ 2. **Problème 3a** : Comparer un nombre positif $a$ à $\frac{1}{2}$ et $2$. - Si $a$ est un nombre positif, alors : - Si $a < \frac{1}{2}$, alors $a < \frac{1}{2} < 2$ - Si $\frac{1}{2} \leq a \leq 2$, alors $\frac{1}{2} \leq a \leq 2$ - Si $a > 2$, alors $\frac{1}{2} < 2 < a$ 3. **Exemple 2 : Triangle ABC avec $AB=5$, $BC=14$, $AC=8$** 1) Calculer $AH$ et $HC$ où $H$ est la projection de $A$ sur $BC$. - Utilisons la propriété de la projection dans un triangle : $AH$ est la hauteur issue de $A$ sur $BC$. - Par le théorème de Pythagore dans les triangles $AHB$ et $AHC$ : - $AB^2 = AH^2 + BH^2$ - $AC^2 = AH^2 + HC^2$ - Comme $BH + HC = BC = 14$, posons $BH = x$, alors $HC = 14 - x$. - On a : $$5^2 = AH^2 + x^2$$ $$8^2 = AH^2 + (14 - x)^2$$ - Soustrayons la première de la deuxième : $$64 - 25 = (14 - x)^2 - x^2$$ $$39 = (14 - x)^2 - x^2$$ - Développons : $$39 = (196 - 28x + x^2) - x^2 = 196 - 28x$$ - Résolvons pour $x$ : $$39 = 196 - 28x \Rightarrow 28x = 196 - 39 = 157 \Rightarrow x = \frac{157}{28} \approx 5.607$$ - Calculons $AH$ : $$AH^2 = 25 - x^2 = 25 - (5.607)^2 = 25 - 31.45 = -6.45$$ - $AH^2$ négatif indique une erreur, donc $H$ n'est pas sur $BC$ mais sur son prolongement. On peut vérifier avec la formule de la hauteur : - Hauteur $AH = \frac{2 \times \text{aire}}{BC}$. - Calculons l'aire avec la formule de Héron : $$s = \frac{5 + 8 + 14}{2} = 13.5$$ $$\text{aire} = \sqrt{13.5(13.5 - 5)(13.5 - 8)(13.5 - 14)} = \sqrt{13.5 \times 8.5 \times 5.5 \times (-0.5)}$$ - Le terme négatif sous la racine montre que ces longueurs ne forment pas un triangle valide. - Donc, le triangle ABC avec ces longueurs n'existe pas. 4. **Exemple 3 : $x$ est un angle aigu tel que $\sin(x) = $ (valeur non donnée). - Sans la valeur de $\sin(x)$, on ne peut pas calculer $\cos(x)$ et $\tan(x)$. - En général, pour un angle aigu : $$\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$$ $$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$ - Fournissez la valeur de $\sin(x)$ pour continuer. **Résumé** : - Problème 2 : Encadrements faits. - Problème 3a : Comparaison expliquée. - Ex 2 : Triangle non valide avec les longueurs données. - Ex 3 : Valeur de $\sin(x)$ manquante pour calculs.