1. **Énoncé du problème 1a** : Résoudre l'équation différentielle homogène linéaire d'ordre 2 : $y'' - 3y' + 2y = 0$ 2. **Formule et méthode** : Pour une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants, on cherche la solution générale sous la forme $y = e^{rx}$ où $r$ est une racine de l'équation caractéristique associée. 3. **Équation caractéristique** : $$r^2 - 3r + 2 = 0$$ 4. **Résolution de l'équation caractéristique** : $$r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2) = 0$$ Donc, $r_1 = 1$ et $r_2 = 2$. 5. **Solution générale de (E)** : $$y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$$ avec $C_1$ et $C_2$ constantes arbitraires. --- 6. **Énoncé du problème 1b** : Trouver la solution $g$ de (E) telle que $g(0) = -3$ et $g'(0) = -2$. 7. **Utilisation des conditions initiales** : On pose $$g(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$$ et $$g'(x) = C_1 e^{x} + 2 C_2 e^{2x}$$ 8. **Appliquer les conditions** : $$g(0) = C_1 + C_2 = -3$$ $$g'(0) = C_1 + 2 C_2 = -2$$ 9. **Résolution du système** : Soustrayons la première équation de la deuxième : $$\cancel{C_1} + 2 C_2 - (\cancel{C_1} + C_2) = -2 - (-3)$$ $$2 C_2 - C_2 = 1$$ $$C_2 = 1$$ Puis, $$C_1 + 1 = -3 \Rightarrow C_1 = -4$$ 10. **Solution particulière** : $$g(x) = -4 e^{x} + e^{2x}$$ --- 11. **Énoncé du problème 2a** : Montrer que la fonction $h$ définie sur $]\ln 4; +\infty[$ par $$h(x) = \ln\left(e^{2x} - 4 e^{x}\right)$$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$. 12. **Domaine et monotonie** : - Le domaine de $h$ est $]\ln 4; +\infty[$ car $e^{2x} - 4 e^{x} > 0$ pour $x > \ln 4$. - Calculons la dérivée : $$h'(x) = \frac{2 e^{2x} - 4 e^{x}}{e^{2x} - 4 e^{x}} = \frac{2 e^{x} (e^{x} - 2)}{e^{x} (e^{x} - 4)} = \frac{2 (e^{x} - 2)}{e^{x} - 4}$$ Pour $x > \ln 4$, on a $e^{x} > 4$, donc $e^{x} - 4 > 0$ et aussi $e^{x} - 2 > 0$. Donc $h'(x) > 0$ sur $]\ln 4; +\infty[$, donc $h$ est strictement croissante. 13. **Conclusion** : Une fonction strictement monotone sur un intervalle est bijective sur son image, donc $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$. --- 14. **Énoncé du problème 2b** : Vérifier que $h(\ln 5) = \ln 5$ puis déterminer $(h^{-1})'(\ln 5)$. 15. **Calcul de $h(\ln 5)$** : $$h(\ln 5) = \ln\left(e^{2 \ln 5} - 4 e^{\ln 5}\right) = \ln\left( (e^{\ln 5})^2 - 4 \times 5 \right) = \ln(25 - 20) = \ln 5$$ Vérification faite. 16. **Formule de la dérivée de la fonction réciproque** : Si $y = h(x)$, alors $$(h^{-1})'(y) = \frac{1}{h'(x)}$$ avec $x = h^{-1}(y)$. 17. **Calcul de $h'(\ln 5)$** : $$h'(\ln 5) = \frac{2 (e^{\ln 5} - 2)}{e^{\ln 5} - 4} = \frac{2 (5 - 2)}{5 - 4} = \frac{2 \times 3}{1} = 6$$ 18. **Calcul de $(h^{-1})'(\ln 5)$** : $$ (h^{-1})'(\ln 5) = \frac{1}{6} $$ --- **Réponses finales :** - $g(x) = -4 e^{x} + e^{2x}$ - $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$. - $(h^{-1})'(\ln 5) = \frac{1}{6}$