1. **Énoncé du problème** : Résoudre l'équation différentielle $y' + 2y = -5e^{-2x}$ définie sur $\mathbb{R}$. 2. **Résolution de l'équation homogène $(E_0)$** : L'équation homogène associée est $y' + 2y = 0$. 3. **Formule utilisée** : Pour une équation différentielle linéaire du premier ordre $y' + p(x)y = 0$, la solution générale est $y = Ce^{-\int p(x) dx}$. Ici, $p(x) = 2$, donc $$y = Ce^{-2x}$$ 4. **Solutions de $(E_0)$** : $$y = Ce^{-2x}$$ où $C$ est une constante réelle. 5. **Trouver une solution particulière de $(E)$** : On cherche une solution particulière $y_p$ de $y' + 2y = -5e^{-2x}$. 6. **Méthode de variation des constantes** : On pose $y_p = u(x)e^{-2x}$ où $u(x)$ est une fonction à déterminer. 7. **Calcul de $y_p'$** : $$y_p' = u'(x)e^{-2x} + u(x)(-2)e^{-2x} = u'(x)e^{-2x} - 2u(x)e^{-2x}$$ 8. **Substitution dans l'équation $(E)$** : $$y_p' + 2y_p = (u'(x)e^{-2x} - 2u(x)e^{-2x}) + 2u(x)e^{-2x} = u'(x)e^{-2x}$$ 9. **Égalisation à $-5e^{-2x}$** : $$u'(x)e^{-2x} = -5e^{-2x}$$ 10. **Simplification** : $$u'(x) = -5$$ 11. **Intégration** : $$u(x) = -5x + K$$ où $K$ est une constante. 12. **Solution particulière** : $$y_p = u(x)e^{-2x} = (-5x + K)e^{-2x}$$ 13. **Solution générale de $(E)$** : $$y = y_h + y_p = Ce^{-2x} + (-5x + K)e^{-2x} = (C + K - 5x)e^{-2x}$$ 14. **On peut regrouper $C + K$ en une seule constante $C'$** : $$y = (C' - 5x)e^{-2x}$$ 15. **Condition initiale $f(0) = 1$** : $$f(0) = (C' - 5 \times 0)e^{0} = C' = 1$$ 16. **Solution particulière vérifiant la condition initiale** : $$f(x) = (1 - 5x)e^{-2x}$$ **Réponse finale** : $$\boxed{f(x) = (1 - 5x)e^{-2x}}$$