1. Énoncé du problème : Nous avons deux équations différentielles liées à une fonction $y(t)$ et une fonction $f(t)$ donnée par $$f(t) = \frac{20}{1 + 1999e^{-0,44t}}.$$ Nous devons analyser ces équations et la fonction donnée. 2. Première équation (E1) : $$y' = 0,022y(20 - y).$$ C'est une équation différentielle logistique classique qui modélise une croissance avec une capacité limite de 20. 3. Deuxième équation (E2) : $$y' = -0,44y + 0,022.$$ C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre. 4. Relation entre $u$ et $f$ : On a $u = \frac{1}{f}$. 5. Fonction $f(t)$ donnée : $$f(t) = \frac{20}{1 + 1999e^{-0,44t}}.$$ C'est une fonction logistique qui commence près de 0 pour $t=0$ et tend vers 20 quand $t \to +\infty$. 6. Analyse de la forme de $f(t)$ : - Pour $t=0$, $$f(0) = \frac{20}{1 + 1999} = \frac{20}{2000} = 0,01.$$ - Pour $t \to +\infty$, $$e^{-0,44t} \to 0,$$ donc $$f(t) \to \frac{20}{1} = 20.$$ 7. Graphiquement, $f(t)$ est une courbe en S (logistique) qui croît rapidement au début puis se stabilise vers 20. 8. Résumé : - (E1) modélise une croissance logistique. - (E2) est une équation linéaire associée. - $f(t)$ est la solution explicite de (E1) avec conditions initiales adaptées. Réponse finale : La fonction $f(t) = \frac{20}{1 + 1999e^{-0,44t}}$ décrit une croissance logistique avec une limite supérieure de 20, conforme à l'équation différentielle (E1).