1. **Énoncé Exercice 2** : Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1) $e^x = -4$ 2) $(e^x - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ 3) $\frac{e^{5x+3}}{e^{x-4}} \leq \frac{1}{e}$ 4) $e^x \leq (e^x)^2$ --- **Résolution Exercice 2** : 1) $e^x = -4$ - La fonction exponentielle $e^x$ est toujours strictement positive pour tout $x \in \mathbb{R}$. - Donc, $e^x = -4$ n'a **aucune solution réelle**. 2) $(e^x - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ - Prendre la racine carrée des deux côtés : $$e^x - \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{2}$$ - Cas 1 : $e^x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0$ - Cas 2 : $e^x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow e^x = 0$ (impossible car $e^x > 0$) - Solution : $x = 0$ 3) $\frac{e^{5x+3}}{e^{x-4}} \leq \frac{1}{e}$ - Simplifier le quotient : $$\frac{e^{5x+3}}{e^{x-4}} = e^{(5x+3)-(x-4)} = e^{4x+7}$$ - L'inéquation devient : $$e^{4x+7} \leq e^{-1}$$ - Comme $e^t$ est strictement croissante, on peut comparer les exposants : $$4x + 7 \leq -1$$ - Résoudre : $$4x \leq -8 \Rightarrow x \leq -2$$ 4) $e^x \leq (e^x)^2$ - Simplifier le membre de droite : $$(e^x)^2 = e^{2x}$$ - L'inéquation devient : $$e^x \leq e^{2x}$$ - Comme $e^t$ est strictement croissante, comparer les exposants : $$x \leq 2x$$ - Soustraire $x$ des deux côtés : $$0 \leq x$$ - Solution : $x \geq 0$ --- 2. **Énoncé Exercice 3** : 1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ : a) $e^{x^2 - 5} = e^{-4x}$ b) $e^{x+1} \times e^{3x+5} = 1$ 2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $e^{7 - 3x^2} > e^{2 - 2x}$ --- **Résolution Exercice 3** : 1a) $e^{x^2 - 5} = e^{-4x}$ - Égalité des exponentielles implique égalité des exposants : $$x^2 - 5 = -4x$$ - Réarranger : $$x^2 + 4x - 5 = 0$$ - Résoudre l'équation quadratique : $$\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2}$$ - Solutions : $$x_1 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$$ $$x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$$ 1b) $e^{x+1} \times e^{3x+5} = 1$ - Simplifier le produit : $$e^{x+1 + 3x + 5} = e^{4x + 6} = 1$$ - Or $1 = e^0$, donc : $$4x + 6 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$$ 2) $e^{7 - 3x^2} > e^{2 - 2x}$ - Comparer les exposants : $$7 - 3x^2 > 2 - 2x$$ - Réarranger : $$7 - 3x^2 - 2 + 2x > 0 \Rightarrow -3x^2 + 2x + 5 > 0$$ - Multiplier par $-1$ (inversion du sens de l'inégalité) : $$3x^2 - 2x - 5 < 0$$ - Résoudre $3x^2 - 2x - 5 = 0$ : $$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 3 \times (-5) = 4 + 60 = 64$$ $$x = \frac{2 \pm 8}{6}$$ - Solutions : $$x_1 = \frac{2 - 8}{6} = -1$$ $$x_2 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ - Puisque $3x^2 - 2x - 5$ est une parabole ouverte vers le haut, l'inéquation $< 0$ est satisfaite entre les racines : $$-1 < x < \frac{5}{3}$$ --- 3. **Énoncé Exercice 4** : Fonction $g$ définie sur $[0, +\infty[$ par : $$g(x) = e^x - x - 1$$ 1) Étudier les variations de $g$. 2) Déterminer le signe de $g(x)$ selon $x$. 3) En déduire que pour tout $x \geq 0$, $e^x - x > 0$. --- **Résolution Exercice 4** : 1) Étudier les variations de $g$ : - Calculer la dérivée : $$g'(x) = e^x - 1$$ - Étudier le signe de $g'(x)$ : $$g'(x) = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0$$ - Pour $x < 0$, $e^x < 1$ donc $g'(x) < 0$ (fonction décroissante) - Pour $x > 0$, $e^x > 1$ donc $g'(x) > 0$ (fonction croissante) - $g$ a un minimum en $x=0$ 2) Calculer $g(0)$ : $$g(0) = e^0 - 0 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0$$ - Comme $g$ décroît avant 0 et croît après 0 avec un minimum nul, on a : $$g(x) \geq 0 \text{ pour tout } x \geq 0$$ 3) En déduire : $$e^x - x - 1 \geq 0 \Rightarrow e^x - x \geq 1 > 0$$ Donc pour tout $x \geq 0$, $e^x - x > 0$. --- 4. **Énoncé Exercice 5** : Fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = e^{2x} + 6e^x - 8x - 4$$ 1) Montrer que $f'(x) = 2(e^x - 1)(e^x + 4)$ 2) Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ 3) Dresser le tableau de variations de $f$ 4) En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$ 5) La courbe $C_f$ et la droite $D : y = -8x - 4$ ont-elles un point commun ? --- **Résolution Exercice 5** : 1) Calcul de $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) + \frac{d}{dx}(6e^x) - \frac{d}{dx}(8x) - \frac{d}{dx}(4)$$ $$= 2e^{2x} + 6e^x - 8$$ - Factoriser : $$2e^{2x} + 6e^x - 8 = 2(e^{2x} + 3e^x - 4)$$ - Poser $t = e^x > 0$, alors : $$e^{2x} = (e^x)^2 = t^2$$ - Donc : $$2(t^2 + 3t - 4) = 2(t+4)(t-1)$$ - Remplacer $t$ par $e^x$ : $$f'(x) = 2(e^x + 4)(e^x - 1)$$ 2) Étudier le signe de $f'(x)$ : - $e^x + 4 > 0$ toujours - $e^x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0$ - Pour $x < 0$, $e^x < 1$ donc $f'(x) < 0$ - Pour $x > 0$, $e^x > 1$ donc $f'(x) > 0$ 3) Tableau de variations : - $f$ décroît sur $]-\infty, 0[$ - $f$ croît sur $]0, +\infty[$ - Minimum en $x=0$ 4) Calculer $f(0)$ : $$f(0) = e^0 + 6e^0 - 8 \times 0 - 4 = 1 + 6 - 0 - 4 = 3 > 0$$ - Comme $f$ a un minimum positif, $f(x) > 0$ pour tout $x$. 5) Intersection avec la droite $D : y = -8x - 4$ - Chercher $x$ tel que $f(x) = -8x - 4$ - Poser $h(x) = f(x) - (-8x - 4) = e^{2x} + 6e^x - 8x - 4 + 8x + 4 = e^{2x} + 6e^x$ - $h(x) = e^{2x} + 6e^x > 0$ pour tout $x$ - Donc $f(x) > -8x - 4$ pour tout $x$, pas d'intersection. ---