1. **Calculer puis simplifier les expressions :** **A = 2\sqrt{9} - 3\sqrt{25} + \sqrt{36} \times \frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}}** - Calculons chaque racine : $$\sqrt{9} = 3, \quad \sqrt{25} = 5, \quad \sqrt{36} = 6$$ - Simplifions $$\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{300}{3}} = \sqrt{100} = 10$$ - Donc : $$A = 2 \times 3 - 3 \times 5 + 6 \times 10 = 6 - 15 + 60 = 51$$ **B = \frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}} = c = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-2}** - Simplifions $$\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}} = 10$$ (vu ci-dessus) - Simplifions $$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$$ - Donc : $$B = 10 - \frac{5}{\sqrt{3}}$$ - Pour $$c = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-2} = (\sqrt{2})^{2} = 2$$ **c = \sqrt{18} + \sqrt{8} - 5\sqrt{2}** - Simplifions les racines : $$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}, \quad \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$$ - Donc : $$c = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = (3 + 2 - 5)\sqrt{2} = 0$$ 2. **Développer puis simplifier :** **D = (2 + \sqrt{5})^2 - 4\sqrt{5}** - Développons : $$(2 + \sqrt{5})^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}$$ - Donc : $$D = 9 + 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = 9$$ **E = (1 + \sqrt{2})^3 - 5\sqrt{2}** - Développons $$ (1 + \sqrt{2})^3 $$ en utilisant la formule du cube : $$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ - Ici, $$a=1$$, $$b=\sqrt{2}$$ : $$1 + 3 \times 1^2 \times \sqrt{2} + 3 \times 1 \times (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^3 = 1 + 3\sqrt{2} + 3 \times 2 + 2\sqrt{2} = 1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2}$$ - Donc : $$E = 7 + 5\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 7$$ 3. **Rendre le dénominateur un entier naturel :** **X = \frac{3}{\sqrt{3}}** - Multiplions numérateur et dénominateur par $$\sqrt{3}$$ : $$X = \frac{3}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \cancel{\frac{\cancel{3}\sqrt{3}}{\cancel{3}}} = \sqrt{3}$$ **Y = \frac{2}{\sqrt{3}} - 1** - Rationnalisons $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ : $$\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ - Donc : $$Y = \frac{2\sqrt{3}}{3} - 1$$ 4. **En déduire que : $$Y - X = 1$$** - Calculons : $$Y - X = \left(\frac{2\sqrt{3}}{3} - 1\right) - \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} - 1 - \sqrt{3}$$ - Mettons $$\sqrt{3}$$ sous forme $$\frac{3\sqrt{3}}{3}$$ : $$Y - X = \frac{2\sqrt{3}}{3} - 1 - \frac{3\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{3} - 1 = \frac{-\sqrt{3}}{3} - 1$$ - Or, il semble y avoir une erreur dans l'énoncé ou dans la simplification, car $$Y - X \neq 1$$ avec ces valeurs. Veuillez vérifier les données. 5. **Déterminer l'écriture scientifique de :** **M = (0,004)^2 \times (50000)^2** - Convertissons en notation scientifique : $$0,004 = 4 \times 10^{-3}, \quad 50000 = 5 \times 10^{4}$$ - Donc : $$M = (4 \times 10^{-3})^2 \times (5 \times 10^{4})^2 = 4^2 \times 10^{-6} \times 5^2 \times 10^{8} = 16 \times 25 \times 10^{2} = 400 \times 10^{2} = 4 \times 10^{2 + 2} = 4 \times 10^{4}$$ **N = (0,0003)^3 \times 10000** - Convertissons en notation scientifique : $$0,0003 = 3 \times 10^{-4}, \quad 10000 = 1 \times 10^{4}$$ - Donc : $$N = (3 \times 10^{-4})^3 \times 10^{4} = 3^3 \times 10^{-12} \times 10^{4} = 27 \times 10^{-8} = 2,7 \times 10^{-7}$$ --- **Slug:** exercices-math **Subject:** mathématiques **Desmos:** {"latex":"","features":{"intercepts":true,"extrema":true}} **q_count:** 5