1. **Énoncé du problème :** Nous devons analyser un graphique d'une fonction exponentielle décroissante et répondre à plusieurs questions sur ses caractéristiques, puis déterminer son équation. 2. **Caractéristiques principales d'une fonction exponentielle décroissante :** - Le domaine est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction est définie. - L'asymptote est une droite que la courbe approche mais ne touche jamais. - L'image est l'ensemble des valeurs possibles de $y$. - L'ordonnée à l'origine est la valeur de la fonction quand $x=0$. - L'intervalle de croissance ou décroissance indique où la fonction augmente ou diminue. 3. **Analyse du graphique :** - Domaine : Pour une fonction exponentielle, le domaine est toujours $\mathbb{R}$, donc $\text{Domaine} = (-\infty, +\infty)$. - Équation de l'asymptote : La courbe approche la droite $y=0$ sans jamais la toucher, donc l'asymptote est $y=0$. - Image : La fonction est toujours positive et tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$, et elle peut prendre des valeurs jusqu'à environ 10 (selon le graphique), donc $\text{Image} = (0, +\infty)$. - Ordonnée à l'origine : C'est la valeur de $f(0)$, qui est environ 2 selon le graphique. - Intervalle de décroissance : La fonction diminue sur tout son domaine, donc décroissante sur $(-\infty, +\infty)$. 4. **Détermination de l'équation de la fonction exponentielle :** La forme générale d'une fonction exponentielle est $$f(x) = a \times b^x$$ avec $a$ l'ordonnée à l'origine et $b$ la base. 5. **Utilisation de l'ordonnée à l'origine :** $$f(0) = a \times b^0 = a = 2$$ Donc $a=2$. 6. **Détermination de $b$ :** On sait que la fonction est décroissante, donc $0 < b < 1$. 7. **Utilisation d'un autre point du graphique :** Par exemple, à $x=-2$, $f(-2) \approx 10$. On a : $$f(-2) = 2 \times b^{-2} = 10$$ 8. **Résolution pour $b$ :** $$2 \times b^{-2} = 10$$ $$b^{-2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$\frac{1}{b^2} = 5$$ $$b^2 = \frac{1}{5}$$ $$b = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ 9. **Équation finale :** $$f(x) = 2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x$$ 10. **Résumé à écrire sur papier :** - Domaine : $(-\infty, +\infty)$ - Asymptote : $y=0$ - Image : $(0, +\infty)$ - Ordonnée à l'origine : $2$ - Décroissante sur $(-\infty, +\infty)$ - Fonction : $f(x) = 2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^x$ Cette méthode vous permet de comprendre et d'écrire clairement les étapes sur papier.