1. **Énoncé du problème :** Une personne fait un trajet en voiture avec plusieurs phases : déplacement, arrêt, puis retour. Il faut déterminer les équations des fonctions représentant la distance à la maison en fonction du temps pour chaque phase, ainsi que leur domaine, image et nature (croissante, décroissante, constante). 2. **Données et phases :** - Phase 1 : 4 km en 4 minutes (de 0 à 4 min) - Phase 2 : arrêt au feu rouge 2 minutes (de 4 à 6 min) - Phase 3 : 1 km en 3 minutes (de 6 à 9 min) - Phase 4 : arrêt au magasin 5 minutes (de 9 à 14 min) - Phase 5 : retour 5 km en 6 minutes (de 14 à 20 min) 3. **Formule générale pour la distance en fonction du temps dans chaque phase de déplacement :** $$d(t) = d_0 + v \times (t - t_0)$$ avec $d_0$ la distance au début de la phase, $v$ la vitesse (km/min), $t_0$ le temps de début de la phase. 4. **Calcul des vitesses :** - Phase 1 : $v_1 = \frac{4}{4} = 1$ km/min - Phase 3 : $v_3 = \frac{1}{3} \approx 0.333$ km/min - Phase 5 (retour) : $v_5 = \frac{5}{6} \approx 0.833$ km/min (mais en sens inverse, donc négatif) 5. **Détermination des fonctions :** - $f_1(t)$ pour $t \in (0,4)$ : $$f_1(t) = 0 + 1 \times (t - 0) = t$$ Domaine : $0 < t < 4$ Image : $0 < f_1(t) < 4$ Nature : croissante - $f_2(t)$ pour $t \in (4,6)$ (arrêt, distance constante à 4 km) : $$f_2(t) = 4$$ Domaine : $4 < t < 6$ Image : $\{4\}$ Nature : constante - $f_3(t)$ pour $t \in (6,9)$ : Distance au début $d_0 = 4$ km $$f_3(t) = 4 + 0.333 \times (t - 6) = 4 + \frac{t-6}{3}$$ Domaine : $6 < t < 9$ Image : $4 < f_3(t) < 5$ Nature : croissante - $f_4(t)$ pour $t \in (9,14)$ (arrêt au magasin, distance constante à 5 km) : $$f_4(t) = 5$$ Domaine : $9 < t < 14$ Image : $\{5\}$ Nature : constante - $f_5(t)$ pour $t \in (14,20)$ (retour, distance décroissante) : Distance au début $d_0 = 5$ km Vitesse négative $v_5 = -0.833$ km/min $$f_5(t) = 5 - 0.833 \times (t - 14) = 5 - \frac{5}{6}(t - 14)$$ Domaine : $14 < t < 20$ Image : $0 < f_5(t) < 5$ Nature : décroissante 6. **Résumé dans le tableau :** | Équation | Domaine | Image | Nature | |---|---|---|---| | $f_1(t) = t$ | $(0,4)$ | $(0,4)$ | croissante | | $f_2(t) = 4$ | $(4,6)$ | $\{4\}$ | constante | | $f_3(t) = 4 + \frac{t-6}{3}$ | $(6,9)$ | $(4,5)$ | croissante | | $f_4(t) = 5$ | $(9,14)$ | $\{5\}$ | constante | | $f_5(t) = 5 - \frac{5}{6}(t-14)$ | $(14,20)$ | $(0,5)$ | décroissante |