1. **Énoncé du problème 1** : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $$f(x) = \frac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}.$$ **1.a)** Montrer qu'il existe trois réels $a,b,c$ tels que $$f(x) = ax + b + \frac{c}{x-1}.$$ **Solution 1.a)** 1. Posons la division euclidienne du polynôme du numérateur par le dénominateur : $$x^2 - 3x + 6 = (x-1)(ax + b) + c.$$ 2. Développons : $$(x-1)(ax + b) + c = a x^2 + b x - a x - b + c = a x^2 + (b - a) x + (c - b).$$ 3. Identifions avec $x^2 - 3x + 6$ : $$a = 1,$$ $$b - a = -3 \Rightarrow b - 1 = -3 \Rightarrow b = -2,$$ $$c - b = 6 \Rightarrow c - (-2) = 6 \Rightarrow c = 4.$$ 4. Donc $$f(x) = x - 2 + \frac{4}{x-1}.$$ **1.b)** Étudier les variations de $f$ et préciser les asymptotes. 1. Calculons la dérivée : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(x - 2 + \frac{4}{x-1}\right) = 1 - \frac{4}{(x-1)^2}.$$ 2. Étudions le signe de $f'(x)$ : $$f'(x) = 0 \iff 1 = \frac{4}{(x-1)^2} \iff (x-1)^2 = 4 \iff x-1 = \pm 2 \Rightarrow x = -1 \text{ ou } x = 3.$$ 3. Pour $x < -1$, $(x-1)^2 > 4$ donc $f'(x) = 1 - \frac{4}{(x-1)^2} > 0$ (car $\frac{4}{(x-1)^2} < 1$). 4. Pour $-1 < x < 3$, $(x-1)^2 < 4$ donc $f'(x) < 0$. 5. Pour $x > 3$, $(x-1)^2 > 4$ donc $f'(x) > 0$. Donc $f$ est croissante sur $(-\infty, -1)$, décroissante sur $(-1,3)$, et croissante sur $(3, +\infty)$. 6. Asymptotes : - Verticale en $x=1$ car dénominateur nul. - Oblique : $$\lim_{x \to \pm \infty} \left(f(x) - (x-2)\right) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4}{x-1} = 0,$$ donc asymptote oblique $y = x - 2$. **1.c)** Construire la courbe $\mathcal{C}$ : - Tracer l'asymptote verticale $x=1$. - Tracer l'asymptote oblique $y = x - 2$. - Étudier les variations et points remarquables pour tracer la courbe. --- 2. **Énoncé du problème 2** : Soit la fonction $f$ définie par $$f(x) = -\frac{x^2}{4} + x + 1.$$ **2.1** Étudier la fonction $f$ et représenter sa courbe $\mathcal{C}$. 1. $f$ est un polynôme du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a = -\frac{1}{4} < 0$, $b=1$, $c=1$. 2. Le sommet est en $$x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \times (-1/4)} = 2.$$ 3. Valeur au sommet : $$f(2) = -\frac{4}{4} + 2 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2.$$ 4. $f$ est donc concave vers le bas, croissante sur $(-\infty, 2)$, décroissante sur $(2, +\infty)$. **2.2** Soit $D_m$ la droite d'équation $$y = m x + 4 - 3 m.$$ Montrer que toutes les droites $D_m$ passent par un point fixe. 1. Cherchons un point $(x_0,y_0)$ tel que pour tout $m$, $y_0 = m x_0 + 4 - 3 m$. 2. Réarrangeons : $$y_0 = m (x_0 - 3) + 4.$$ 3. Pour que $y_0$ soit indépendant de $m$, il faut $$x_0 - 3 = 0 \Rightarrow x_0 = 3.$$ 4. Alors $$y_0 = 4.$$ 5. Le point fixe est donc $(3,4)$. --- **Résumé** : - Exercice 1 : fonction rationnelle avec décomposition, étude de variations, asymptotes. - Exercice 2 : fonction quadratique, étude, et famille de droites passant par un point fixe.