1. **Domaine de définition de la fonction** $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. La fonction logarithme naturel $\ln(y)$ est définie pour $y > 0$. Ici, $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc, le domaine de définition est $\boxed{\mathbb{R}}$. 2. **Solution de l'équation** $\ln(x) = 1$. On utilise la définition de la fonction logarithme : $\ln(x) = 1 \iff x = e^1 = e$. Donc, la solution est $\boxed{x = e}$. 3. **Solution de l'inéquation** $\ln(x) > 0$. On sait que $\ln(x) > 0$ lorsque $x > 1$. Donc, la solution est $\boxed{]1; +\infty[}$. 4. **Solution de l'équation** $\ln^2(x) - \ln(x) = 0$. Posons $t = \ln(x)$, alors l'équation devient : $$t^2 - t = 0$$ Factorisons : $$t(t - 1) = 0$$ Donc $t = 0$ ou $t = 1$. Revenons à $x$ : - $\ln(x) = 0 \Rightarrow x = 1$ - $\ln(x) = 1 \Rightarrow x = e$ Donc, la solution est $\boxed{\{1, e\}}$. 5. **Solution de l'inéquation** $e^x < 0$. La fonction exponentielle $e^x$ est toujours strictement positive pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc, il n'existe aucun $x$ tel que $e^x < 0$. La solution est $\boxed{\emptyset}$. 6. **Solution de l'équation** $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$. Posons $t = e^x > 0$, alors l'équation devient : $$t^2 - 4t + 3 = 0$$ Résolvons : $$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Donc $t_1 = 3$, $t_2 = 1$. Revenons à $x$ : - $e^x = 3 \Rightarrow x = \ln(3)$ - $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$ Donc, la solution est $\boxed{\{0, \ln(3)\}}$. 7. **Solution de l'équation** $2^{3x+1} - 4^{x+2} = 0$. Remarquons que $4 = 2^2$, donc : $$2^{3x+1} - (2^2)^{x+2} = 0$$ $$2^{3x+1} - 2^{2x + 4} = 0$$ Posons $a = 2^{3x+1}$ et $b = 2^{2x+4}$. L'équation devient : $$2^{3x+1} = 2^{2x+4}$$ Donc les exposants sont égaux : $$3x + 1 = 2x + 4$$ $$3x - 2x = 4 - 1$$ $$x = 3$$ Donc, la solution est $\boxed{\{3\}}$.