1. **Énoncé du problème :** Nous devons trouver l'expression de la transformée de Laplace $F(P)$ de la fonction $f(t)$ qui est composée de trois impulsions triangulaires identiques, chacune de base $2a$ et de hauteur 1, situées aux intervalles $[0,2a]$, $[4a,6a]$ et $[8a,10a]$. 2. **Formule de la transformée de Laplace :** La transformée de Laplace d'une fonction $f(t)$ est définie par $$F(P) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{+\infty} f(t) e^{-Pt} dt$$ 3. **Décomposition de la fonction $f(t)$ :** La fonction $f(t)$ est la somme de trois triangles décalés : $$f(t) = f_1(t) + f_2(t) + f_3(t)$$ avec - $f_1(t)$ triangle sur $[0,2a]$ - $f_2(t) = f_1(t-4a)$ triangle décalé de $4a$ - $f_3(t) = f_1(t-8a)$ triangle décalé de $8a$ 4. **Expression de $f_1(t)$ :** Le triangle $f_1(t)$ est défini par : $$f_1(t) = \begin{cases} \frac{t}{a}, & 0 \leq t < a \\ \frac{2a - t}{a}, & a \leq t \leq 2a \\ 0, & \text{sinon} \end{cases}$$ 5. **Calcul de $F_1(P) = \mathcal{L}\{f_1(t)\}$ :** On calcule séparément les deux parties : $$F_1(P) = \int_0^a \frac{t}{a} e^{-Pt} dt + \int_a^{2a} \frac{2a - t}{a} e^{-Pt} dt$$ 6. **Calcul de la première intégrale :** $$I_1 = \frac{1}{a} \int_0^a t e^{-Pt} dt$$ Utilisons l'intégration par parties : $$\int t e^{-Pt} dt = -\frac{t}{P} e^{-Pt} - \frac{1}{P^2} e^{-Pt} + C$$ Donc, $$I_1 = \frac{1}{a} \left[-\frac{t}{P} e^{-Pt} - \frac{1}{P^2} e^{-Pt} \right]_0^a = \frac{1}{a} \left(-\frac{a}{P} e^{-Pa} - \frac{1}{P^2} e^{-Pa} + \frac{1}{P^2} \right)$$ 7. **Calcul de la deuxième intégrale :** $$I_2 = \frac{1}{a} \int_a^{2a} (2a - t) e^{-Pt} dt = \frac{1}{a} \left[ 2a \int_a^{2a} e^{-Pt} dt - \int_a^{2a} t e^{-Pt} dt \right]$$ Calculons chaque terme : $$\int_a^{2a} e^{-Pt} dt = \left[-\frac{1}{P} e^{-Pt} \right]_a^{2a} = \frac{1}{P} (e^{-Pa} - e^{-2Pa})$$ Pour $\int_a^{2a} t e^{-Pt} dt$, on utilise la même formule d'intégration par parties : $$\int t e^{-Pt} dt = -\frac{t}{P} e^{-Pt} - \frac{1}{P^2} e^{-Pt} + C$$ Donc, $$\int_a^{2a} t e^{-Pt} dt = \left[-\frac{t}{P} e^{-Pt} - \frac{1}{P^2} e^{-Pt} \right]_a^{2a} = \left(-\frac{2a}{P} e^{-2Pa} - \frac{1}{P^2} e^{-2Pa} \right) - \left(-\frac{a}{P} e^{-Pa} - \frac{1}{P^2} e^{-Pa} \right)$$ $$= -\frac{2a}{P} e^{-2Pa} - \frac{1}{P^2} e^{-2Pa} + \frac{a}{P} e^{-Pa} + \frac{1}{P^2} e^{-Pa}$$ Donc, $$I_2 = \frac{1}{a} \left[ 2a \cdot \frac{1}{P} (e^{-Pa} - e^{-2Pa}) - \left(-\frac{2a}{P} e^{-2Pa} - \frac{1}{P^2} e^{-2Pa} + \frac{a}{P} e^{-Pa} + \frac{1}{P^2} e^{-Pa} \right) \right]$$ $$= \frac{1}{a} \left[ \frac{2a}{P} e^{-Pa} - \frac{2a}{P} e^{-2Pa} + \frac{2a}{P} e^{-2Pa} + \frac{1}{P^2} e^{-2Pa} - \frac{a}{P} e^{-Pa} - \frac{1}{P^2} e^{-Pa} \right]$$ $$= \frac{1}{a} \left( \frac{a}{P} e^{-Pa} + \frac{1}{P^2} e^{-2Pa} - \frac{1}{P^2} e^{-Pa} \right) = \frac{1}{P} e^{-Pa} + \frac{1}{a P^2} (e^{-2Pa} - e^{-Pa})$$ 8. **Expression finale de $F_1(P)$ :** $$F_1(P) = I_1 + I_2 = \frac{1}{a} \left(-\frac{a}{P} e^{-Pa} - \frac{1}{P^2} e^{-Pa} + \frac{1}{P^2} \right) + \frac{1}{P} e^{-Pa} + \frac{1}{a P^2} (e^{-2Pa} - e^{-Pa})$$ Simplifions : $$F_1(P) = -\frac{1}{P} e^{-Pa} - \frac{1}{a P^2} e^{-Pa} + \frac{1}{a P^2} + \frac{1}{P} e^{-Pa} + \frac{1}{a P^2} e^{-2Pa} - \frac{1}{a P^2} e^{-Pa}$$ Les termes $-\frac{1}{P} e^{-Pa}$ et $\frac{1}{P} e^{-Pa}$ s'annulent, donc : $$F_1(P) = \frac{1}{a P^2} + \frac{1}{a P^2} e^{-2Pa} - \frac{2}{a P^2} e^{-Pa} = \frac{1}{a P^2} \left(1 - 2 e^{-Pa} + e^{-2Pa} \right)$$ 9. **Utilisation de la propriété de décalage temporel :** La transformée de Laplace d'une fonction décalée est : $$\mathcal{L}\{f(t - t_0) u(t - t_0)\} = e^{-P t_0} F(P)$$ 10. **Transformée totale $F(P)$ :** $$F(P) = F_1(P) + e^{-4aP} F_1(P) + e^{-8aP} F_1(P) = F_1(P) (1 + e^{-4aP} + e^{-8aP})$$ 11. **Formule finale :** $$\boxed{F(P) = \frac{1}{a P^2} (1 - 2 e^{-Pa} + e^{-2Pa}) (1 + e^{-4aP} + e^{-8aP})}$$ Cette expression donne la transformée de Laplace de la fonction $f(t)$ composée des trois triangles décalés.